三石・数学塾

令和７年。
明けましたね。
元旦の初詣は、毎年恒例の市内、元善光寺というお寺で、
そしていつもの絵馬です。




数学の問を神社に奉納していたという昔の文献を見て、それを真似した。
もうかれこれ２０年近くやっていると思う。
自己満足なものですな。でも、これを見て数学に興味を持ってくれる学生が
いてくれると嬉しく思う。
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令和６年。
明けましたね。
元旦の初詣は、毎年恒例の市内、元善光寺というお寺で、
そしていつもの絵馬です。



これは昔、数学の問を神社に奉納していたという文献を見て、
真似したものです。かれこれ１０年以上やっていると思う。
自己満足なのだけど、これを見て数学に興味を持ってくれる学生が
いてくれると嬉しい。

赤い四角には１から５までの数のどれかが入ります。
同じ数とは限らないのでご注意を。
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こんにちは。


４月。新学期となりました。
会社の場合は学期末に決算というものがあって、
１年間で儲かったのか、赤字だったか？これを算出します。

単身上京して数学の会社を経営し、早４年。
数学のテストなどを作ってほしいと頼まれて、
希望の通りのものを作ったお礼として、お金がもらえる。
こういう会社です。

今年度はトントンだったかな。
お金持ちになることは、簡単でないです。

通勤電車の中。面白い問がありました。



詳しくは、こちら。

コラッツ予想
A　偶数なら、２で割る
B　奇数なら、３倍して１を足す

これを繰り返すといつかは１になる、というものだそうです。
ここで、Aを使ったあとの数は偶数、奇数両方あるけど、
Bを使ったあとは必ず偶数になるので、Bの操作の次は必ずAになります。

中学入試の問題なので、小学校の算数なのだけど、
問２は高校の数学で考えたら、興味深いことが見えてきました。

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こんにちは。


３連休。ゆっくり休めた。
大学入学共通テストは次の土日ですか。
数学はどんな問が出るのでしょーか？
去年は評判が悪かったようです。良い問題を期待したいです。

ルート２のシリーズ、その３です。



ルート２が有理数であると仮定して、どこかで矛盾が起こることを示す。
という「背理法」で示すのが一般的なもので、こちら。


昔の記事はこちら。
その１
その２

これ以外に証明方法がないかどうか？
２つ発見しました。
まずは、教科書の証明と似ているけど若干違う次の方法。



分母を３以上に限定しておくことで、違った矛盾が起こります。
この方法だと、置き換えをして同じ形に持っていくという手間が省ける。

もう１つは、合同式を使ったものです。

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令和５年。
明けて２日目ですね。

元旦の初詣は、毎年恒例の市内、元善光寺というお寺です。
そしていつもの奉納。家族は毎年呆れてますね・・。




１年は３６５日、７で割ると５２と余り１なので、
平年のときは曜日が１ずつずれていきます。
しかし閏年のときは２つずれてしまうので、ここがややこしいですね。
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こんにちは。


万年筆バカ。
国産は地味で、舶来は派手。
と大体そうで、しかし国産の方が丈夫で長持ち。



これはフランス製で、今は作ってないので手に入らない。
赤い模様が美しく、黒地と金の輪との調和が絶妙。

家にお客が来ると、見せびらかしてウンチク垂れる迷惑な男です私は。


今日は中学入試に出そうなこんな問を１つ。




2/3＝0.66・・、3/4＝0.75
この間にある分数は無限にあって、例えば、
0.7＝7/10
これが答えに見えるけど、も少し分母を小さくできます。

探せば見つかるけど、理詰めで解くには？
これを考えてみました。

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こんにちは。


東京発、金沢行き。



ホームに向かってくる新幹線の顔を見るのが好き
という人がいて、動画を撮って送った。


新幹線の座席なのだけど、



なぜか３人と２人に分かれてますね。聞いた話だけど、
２と３にしておけば、団体で着席するときに

３人掛け、２人掛けのどちらも空きがなくなる

ということらしいです。例えば、



うまく座れば隣が空かないようにできます。




解き方はいろいろあると思います。
いろいろ見つけてもらえると、面白いかと。
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こんにちは。


５月に入って、通勤電車が混んできた気がする。
うちの会社はまだ在宅勤務なのだけど、よそはどうだろ？



目の前に算数の問題があったので撮った。
●●権の侵害とかそういうこと言わずに・・。教育の為。

出典を調べるとこれでした。


２０２２昭和女子大付属昭和中


１、２は考えを書く問で、珍しいので取り上げられたのでしょう。
こちら。

これを小６生が解くのか・・。
型にハマっていない問を解くことは、難しいです。
しかも自分の考えを書くという、国語のような振りをされては余計書きにくい。
まぁ、そういう問にどう対処するかを見た問題といえます。


模範解答を見ずに自分の考えを書いた。
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こんにちは。


GWの中、いかがお過ごしですか？
今日は実家の長野でしばしの休息。




静かだ。車もさっきから１台も通らないし、
聞こえるのは鳥のさえずりだけ。いいですね、のどかで。


今日はこういう問。

２０２１一橋大

去年の入試なのだけど、面白い問が出てましたね。
素数とは、１とその数だけしか約数が無い数のことで、
１００以下の素数を全部書き出すと、次の２５個です。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
73, 79, 83, 89, 97

残りを１０００まで書き出していけば、実際には全部で１６８個とのことです。
全部書き出して、これにて証明完了！と書けば、〇がもらえるはず。

書き出すのは大変だから、何かうまい方法を考えるしかないのだけど、



１から１０００のうち、大半が図の青い部分にあって、黄の部分の中は
２でも３でも５でも割り切れない数がある。この中に２、３、５以外の素数があるけど、
もちろん合成数もありますね、

黄の部分にある素数が、２５０－３＝２４７個以下であること

を示せばいいです。
結構面倒だ・・。

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こんにちは。


もう何年も読んでいるのですが一向に進まない本。
こういう本が書棚に多々あります。


初等整数論講義　高木貞治

これもその１つ。数学書は大体そうだけど、数学以外だと

jazz study（渡辺貞夫）
将棋大観（木村義雄）
これらもそういえば進んでない・・。


オイラー関数φ（x)とは、こちら。

数学Aの青チャートにも載っているので、
受験生は知っておくといいかもしれない。


本の中に載っていた次の公式を考えてみました。



互いに素・・・２つの整数の公約数が１だけ。

例えば、a＝５、b＝６のとき。
５以下で５と互いに素な自然数は、１、２、３、４だから、φ（５）＝４
６以下で６と互いに素な自然数は、１、５だから、φ（６）＝２
３０以下で３０と互いに素な自然数は、１、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９だから、φ（３０）＝８

φ（３０）＝φ（５）・φ（６）

確かに成り立ってます。


上の本にこの証明はあるのだけど、相当わかりにくい。文面を抜粋すると、

しからば、nを法としての規約類の数がすなわちφ（n)である。

モーレツに読みにくいし・・。
何とか行間を埋めてみた。
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こんにちは。


今年の仕事はあと１週間かな。
私は数学の会社を経営していて、数学の問題を作ったり、
作ってあるものをチェックするのが主な作業です。



甘いものに目が無い。


解くことが為になる
解くことが面白い

こういう問題を日々考えています。
数学は嫌われるためにあるのではない。
何となく興味を持ってもらえるといい。とつね思う。

２０２１年。
この数字で問題を作ってみました。



うう・・数字が大きすぎたな。これは大変だ。
５枚でやってみます。



３が残ります。
１巡目は偶数が捨てられ、２巡目は奇数のうちの半分が捨てられ、・・
これを２０２１まで調べていくのは気が遠くなる。

毎回１巡したあとに、いつも同じ数が一番上にある

こうなってくれるとありがたい。
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こんにちは。


随分更新が途絶えておりました。
この時期多忙につき・・。

スマホにあるlineというもの。メールが発展した感じのもので、
電話に取って変わった感がありますね。




ご存じの通り、右が持ち主の文章、白が相手の文章となっていて、
実に見やすい。（上の会話が誰のものかは伏せておきます）

知り合った男女が仲を深められるか、それとも消滅してしまうか。
書き方ひとつで大いに変わるような気がしますね。
口で言えないことを文章で表すことができるし、文章を見ながら、
会話の掛け合いを楽しむことができる。

こういう便利なツールは、有効活用すべし。


上の写真にある１１１１のような１が続く数をレピュニット数といいます。
これにちなんだ問を１つ。



（１）は順に１１で割ってみると、交互に割り切れることがわかる。
（２）は以前記事に載せたような気がする・・。
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令和３年。
明けましたね。


暮れに東京から実家の長野に帰省し、
この正月はゆっくりです。



初詣は毎年恒例、市内の元善光寺。
そしていつもの奉納、今年はこれです。




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こんにちは。

土日、GO TOでは無いけど遠出した。
中央道のぼり、長野県から山梨県に入ったところ。



快晴で、富士山が綺麗に見えた。
美しいですね、実に。


今日はこういう問で。



意味がわかりにくいですけど・・。
まずはいくつかNの候補を挙げて、様子をつかむしかない。

２５個を買うには、５×５＝２５だから、５個入りを４箱買う。
２６個を買うには、５×１＋７×３＝２６だから、５個入りを１箱、７個入りを３箱買う。
２７個を買うには、５×４＋７×１＝２７だから、５個入りを４箱、７個入りを１箱買う。
・・・・・・
５と７のうち、小さい方の５を単位として考える

といいです。小さい方が場合分けが少なくて済むので。

上の２５、２６、２７にそれぞれ５や１０を足した数なら、
５個入りの箱を増やせばいいので、ナゲットを買うことができます。

こんな感じで、「この数以上はみなOK」、「この数より1小さいとNG」
というギリギリの値を見つけることになります。
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こんにちは。


本日の仕事は終了。もうやりたくない気分・・。


初等整数論講義　高木貞治　

もうすでに２０年以上前から読んでいる本で、
いまは自炊をしてあってタブレットで眺めている。
一生かかって全ページ読破しようと思っているけど、
まだまだ先が長い・・。

完全数とは、
自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のこと

例えば
６の約数は１、２、３、６で、１＋２＋３＝６
２８の約数は１、２、４、７、１４、２８で、１＋２＋４＋７＋１４＝２８
だから、６や２８は完全数になる。

では、完全数を求めるにはどうすればいいか？



完全数の定義を言い換えて、
約数の総和が、その自然数の２倍に等しい
と考えます。

上の本に解き方が載っているけど、実に見事なものだった。

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こんにちは。


都会は今日から新学期でしょうか。
土日、田舎に帰りしばしの休息だった。



これは「流しそうめん」というもの。
上から流れてくるそうめんを箸ですくって食べる。
ただそれだけなのだけど、面白いもんですね。

そうめんの後はジュースを流し、ストローで吸う・・。
夏休みの楽しい体験というもの。大人になっても覚えているものですね。
そういうものの１つになってくれればいい。そう思う。


昔の有名なパズルを１つ。



ジュースの移動は、そそぐ方をカラにするか、受け取る方を満杯にする
という規則とします。また、この3つの容器以外の容器は使えません。

方程式をつくると、
Aをｘ回、Bをｙ回満杯にするとして、その差が４Lになる場合を考えて、
３ｘ－５ｙ＝４
または
５ｙ－３ｘ＝４
このようなｘ、ｙを求めれば、これが移し替えの方法になります。

これ、図を使って解く方法があるので、それで解いてみた。
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こんにちは。


東京も、最近やや涼しくなった感じです。
大都会に越してきて４ヶ月。人が多い、空気がまずい・・
それもだいぶ慣れてきた感じです。


今年の試験問題がUPされていました。こちら

この中の「中高共通数学」。後半が変な問題だけど、
大体高校の範囲の問題で、偏差値５５の高３生なら皆解けそうな問ばかりです。

いくつか解いてみますか。



青チャートに載ってそうな、群数列の問題。
並び方の規則性が斜めなので、三角形に足していき、

三角数を、ひと区切りとする

のがいいです。
しかし、なぜか（１）に変な誘導がありますね。これに引きずられると（２）が解きにくいです。
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こんにちは。


東京生活が２カ月過ぎた。
見るもの聞こえるもの、皆新鮮で興味深い。
予算と時間があればいくらでも楽しめるのだが。

両国国技館近く、ちゃんこ鍋を食べに行った。



抜群にうまかった。

国技館には昔２度ほど升席に座れたことがある。
また行きたいけど、チケット手に入れるすべが無い・・。


数学甲子園の続き。
実に面白そうなイベントだ。当日、部外者は入れませんかね？


※数検協会の許可を得て掲載しています

２乗、３乗、４乗、・・・とあるけど、びっくりしてはいけない。
２乗だけ調べればあとは不要です。

XとYの下３桁が同じ　⇔　Ｘ－Ｙは１０００の倍数

こういう発想ができるかどうか、ここがカギですね。
続いて、



分子を分母で割って商を求め、それの一の位を見ればいい。
こういうことなのだけど、数が大きすぎてわり算できない。

共通なものは文字で置き換える

因数分解をするときにこういう手を使うけど、そうでなくても
いつも意識しておくといいです。
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こんにちは。

東京で生活を始めて、１か月経った。
生活のスタイルが大きく変わって、何かと新鮮で、
見るもの聞こえてくるものに興味や疑問が沸く。

子どもにとっては、田舎より都会の方がやはり、
勉強をする環境が揃いやすいかもしれぬ。そう思った。


最近購入したものといえば・・



マンション暮らしでは大音量で音楽が聴けないので。
ブルートゥースとは何？
配線が無いのが不思議なものですね。


写真の３点が私のカバンの中身。
その、カバンの問を１つ。




高校の数学で
n(A∪B)＝n(A)+n(B)－n(A∩B)
という公式があるけど、これを使っても解けそうにないですね。
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こんにちは。

GWのさなかですね。
今月から東京暮らしとなって、新居に慣れないこと、
生活に不自由なこと、多々ありますね。

徐々に慣れていくしか、ないか・・。



我が家の池、水漏れが起こりいま修理中。
金魚が、鳥かケモノに食べられるという事件が起きていて、
なので鉄格子でも付けようか、と思案中。


数学の話。
整式

高校１年のはじめに習う言葉で、教科書には、
単項式と多項式を合わせて整式という、と書かれています。
数、文字、数や文字の積、これら単体か、和の形の式のことです。

整式の問を１つ。



P(1)というのは、整式P(x)のxに1を代入して計算した結果のこと。例えば



これらは皆P(1)＝6となっているが、P(7)＝360にはならない。


P(x)の次数がわからない上に、条件が２つしかないので、普通は式が決まらない。
しかし与えられた条件が作為的なので、何とか求まる。
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