三石・数学塾

こんにちは。


引き続き、早大商学部。



今日は(4)です。
難問だ。正9角形が馴染みが無い。６０°の角度がどうやって作られるか？
ここをまず調べるしかないですね。



円を描いて、円周角を考えるといいです。
図のような赤、青、緑の線をひくと、正三角形ができます。
あとはこれらの直線を平行移動しても同じ６０°の角ができる。

こんな感じで数えていきます。
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こんにちは。


天気の良い土曜日。
久々のオフだ。

休日引き続き、早大商学部。



今日は(3)です。
「等式を満たす」ということは、等式がxについての恒等式になるということです。
なのでm、nは任意でなく何か特定の数になるはずで、そこで両辺の次数を調べれば
m、nの条件が出て、値が決まるかな・・？
と、考えるところです。
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こんにちは。


引き続き、早大商学部。



今日は(2)のみです。
３項間漸化式で、よくある形なのでそれほど難でない。
しかしa2でなくa2025が０というのが作為的ですな。
これ、０にしてくれているので案外ラクに解けます。



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こんにちは。


もう３月か、早いですね。
いろんな入試が終わった、こういうとき仕事がカブるもので、
この時期は休みが無い。



行き付けの店にて。社長なので会社の経費で飲む。
これだけですな、社長やってて良いなと思うことは・・。


早稲田の商学部。
文系なのに数学が難しく、６０点満点で平均が１０点そこそこらしい。
どんな問が出てるのか見てみたら、なかなかだった。

面白いので解いてみますか。



大問１は小問集合４問だけど、どれも簡単でない。
今日は(1)のみです。
だいたい２つ式があるときはyを消してxの方程式を作るのだけど、
直接図を描くと、こうなるかな。



この図以外に共有点が２個になる場合が無いことを示す必要があるけど、
まあ細かいことは置いといて、式はこうなる。



この連立方程式を解けば一応答えは出るけど、あまりうまい解き方でない。
解答は、yを消す方法で。
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こんにちは。


引き続き東大文系。
最終の第４問は、面積の問題。




見た感じ対して難しくなさそうで、実際にそれほど難ではない。
しかし場合分けが多く、いちいち全部面積を求めていくと大変すぎる。

aを正として徐々に大きくしていくと、



面積は小さくなっていくことがわかる。

aが負のときは絶対値のグラフが折り返されるのでややこしい。
－2から徐々に大きくしていくと、



x軸との交点が±１の外にあれば、面積が大きくなっていくことがわかる。
これらを排除すれば、あとは－1≦a≦0のときを調べるだけでよくなる。

なかなか面倒な問だ。
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こんにちは。


引き続き東大文系。
第３問は確率の問題。これが一番難だった。




(2)は漸化式を作るタイプの問だろうと予測できるが、
どうやって式を立てればよいか？ここが相当ムズい。




右から1番目と2番目の2個の玉のパターンはこの４つで、
アの確率pnとイの確率qnの和が(2)の答えになる。なので、
まずはpnとqnの関係式を作ろうかと考えるのが手順ですね。
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こんにちは。


国立大の２次試験、昨日から始まりました。
引き続き東大文系、ゆうべ一応全部解けたけど、
やっぱどれも簡単でないですね。

第２問は図形の問題。




まずM、Nを中点、Oを外心として、小さめの円を描いてみる。



左図は、辺ABとACの一部がDrに含まれていない。
右図は、３辺がみなDrに含まれているが、Oの周りが含まれていない。

中点や外心を取ることに気付けるかどうか。
あと、鈍角三角形のときは外心が外に出るので解が違う。
なかなか面倒な問題だ・・。
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こんにちは。


国立大の２次試験、本日から始まりました。

私はもう塾の先生でないので、受験生の心配は無い。
なので、のんびり解いていこうかと思います。

今年の東大。文系の方です。




(2)のほう、図をかくとこんな感じです。



これ、PからQ、QからRと同じことをしているので、
　　b＝(aの式)
を作ったら、c＝(bの式)も同じ形になります。
これに気づけると二度手間が防げる。
しかし対象となるものが分数関数なので、どう処理するのか？
ここがややムズいです。
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こんにちは。


あと１週間ですね、共通テストが。
試作問題。こちら。

数２BCの第７問、これは数Cの問です。



２次曲線はaとbの符号で形が決まる。それを知っていれば易しい。

続いて、〔２〕です。



この問の図１と図２は、問題を解くのに全く必要としない。
こういう不要な情報をあえて入れてくるのも共通テストの特徴の１つかと思う。
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こんにちは。


あと１週間ですね、共通テストが。
この試験の数学なのだけど、毎回解くたびに腹が立ってしまう。

文章がえらく長く、それが物語になっていて読解に苦労すること。
考え方を指定してそれに乗る必要があり、自由に発想できないこと。
答えが選択肢になるケースがあり、これを選ぶのがめんどいこと。

など。こういうことを分かったうえで根気よくしかもスピーディに
解く必要がありますね。もっとシンプルにできないものか・・？
数学の能力以外のとこで差がついてしまうのではと毎回思う。

試験問題はこういう感じになりますよ、というものがUPされていたので、
解いてみますか。こちら。

数１Aの第４問で、確率の問です。



ここまでは２０２１年の共通テスト１A第３問とほぼ同じです。





全４ページ。うんざりですな・・。
後半は文章量が多い割に設問が少ない。途中の会話文は、問題を解くうえで
ヒントになっているので読み飛ばさないほうがいい。

スセ以降が難しい。
一見、XとYのどちらを取っても期待値は変わらないように見えるけど、
太郎の試行で結果が１つ出ているので、それが花子の選択に影響しているというのが、
この問題の主旨となっている。厄介だ・・。
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こんにちは。


灘中入試、引き続き。
第８問からは図形の問が続く。



算数では長さが等しいことを等式で書かないので、見づらい。
AE＝AFを見逃してしまい、解けない問をずっと考えておりました。

EF＝BCがいえるのだけど、なぜなのか？

とても小学校の算数では説明できないな。
試験中に証明している時間が惜しいし、三角形が何となく合同だから等しい、
という感じで解くのでしょうね。

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こんにちは。


灘中入試、引き続き。
第７問は、数え上げの問題。



電球が点灯するのは、スイッチがonになった道ができる場合で、
その道が複数できるときもあるし、これはなかなか厄介です。

策１　点灯する場合を全部数え上げる
策２　点灯しない場合を数え上げ、１２８から引く

このどちらがよいか？やってみないとわからないけど、
場合分けの方法として、下２つのonとoffで分けてみる。



Aが消えてBがつく場合は、真ん中の場合と同じなので略でいい。
策１は左の場合が大変そうなので、策２で行くことにした。
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こんにちは。


灘中入試、引き続き。
第６問は、数の性質をうまく活用した面白い問題。



４桁の数ABCDが何個できるかというと、8C4だから70通り。
1つずつ順に調べて条件に合うかを見ればいいけど、

その場合、平均何回で見つかるか？

期待値を計算するとおよそ３５回となります。試験中にやる気になれないですね。
この問で着目することが、次のこと。

A＋B＋・・＋H＝1＋2＋・・＋8＝36

９の倍数になっているので、これを手掛かりにします。


次は、４桁の数が９の倍数になるための条件です。



この性質は是非知っておくべきことですね。
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こんにちは。


３月に入ったけど、東京はまだ寒い。
灘中入試、引き続き。



整数が１１の倍数になるのは、各位がどんなときか？

この性質を知らないと、しらみつぶしに調べることになるのでキツい。
作者はそのことを見越して出題したのだろーか？

小６生でもわかるように、性質と証明を書いた。



これを使ってよいことにして解答を作った。
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こんにちは。


灘中学の入試問題。
引き続き解いていきます。

これは小６生が解く問題なので、
なるべく算数だけで解こうと思う。



高校の数学Aの中に「集合の要素の個数」という単元があって、こういう図をかいて考えます。



n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)　
式で書くとこうなるけど、意味を説明すれば小６生でもわかると思う。

もう１問。



旅人算
の中に、出会い算とか追いつき算とかがある。
そのたぐいかなと思ったけど、条件が３つあるので何かヘンですね。

逆向きに走る２パターンだけを考えたら、解けてしまった・・。
何か勘違いしたのだろーか？
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こんにちは。


受験の季節。
私の会社は数学の会社で、この時期は入試の仕事が入ってくる。
とにかく毎日数学の問を解きまくる仕事であって、こういうのは
好きでないとできないですね。
私は問題解くのが趣味なので、何も苦でないです。

中学入試の仕事は無いけど、毎年解いているので
今年も解きますか。



１日目は全１２問。
中学入試なので小６生が解く問題なのだけど、何だか高校入試に出ても
おかしくない問題が後半に多々ある。

最初はウォーミングアップかなと思いきや、結構面倒な計算。



特に工夫する手もなく、ただ計算すればいい。
２番は、中１の１次方程式の文章題にちょうどいい問題で、
求めるものをx円として、

5x－120＝7(x－100)＋60

これを解けばいい。

でも小６生がわかるような解き方で解いた。
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こんにちは。


引き続き、東大文系。
最終問題は確率でした。



確率をnの式で表す問題。こういうときは、まず小さいnで調べてみるのが
第一歩です。奇数なので５と７を描くと、こうなる。



n＝5のときはどの場合もOを内部に含むので、確率は１ですね。
n＝7のときは、Oを内部に含まない場合はあるけど、そう多くない。

pn＝1－（Oを内部に含まない確率）

余事象を考える方がラクそうです。とはいえ、数え方がややこしい。
漏れなく重複なく数えるのに図のＡを固定するのかしないのか？
あと、Oを内部に含まない場合をどうやって数えるのか？

数え方に工夫が要りますね・・。

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こんにちは。


引き続き、東大文系。
第３問は座標平面上の図形の問題。



図を描くとこうなる。



赤い線は何となく引いてみた。直角三角形の斜辺の中点は外心だから、
AM＝PM＝OMとなる。この条件が使えるかもだし、意味ないかもしれないが・・。

(1)が解ければ、(2)(3)は方程式、不等式を解くだけなので易しい。
なので(1)が解けるかどうかがカギになりますね。
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こんにちは。


引き続き、東大文系。
第２問は珍しい指数対数の問題。



(1)はどの参考書にもあるタイプの問で易しい。
(2)が困ってしまうな・・。見たことない形でしょう。
直接両辺の対数を取るのは、左辺が和だからうまく行かない。



こういう変形はどうか？これも[ ]の中の処理が困る。
仕方ないのでmに値を入れて調べよーか？こう考えた人いませんか？

m＝4のとき、左辺＝625＋256＝３桁
m＝5のとき、左辺＝3125＋1024＝４桁
m＝6のとき、左辺＝15625＋4096＝５桁
m＝7のとき、左辺＝78125＋16384＝５桁
m＝8のとき、左辺＝390625＋65536＝６桁
m＝9のとき、左辺＝1953125＋262144＝７桁

こんなことしていては、答えを出すまでに試験が終わってしまう。
しかし、これを見て気づいてしまった。

左辺の桁数は、4^mが足されたところで変わらない。

なので答えが見えた感じですね。

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こんにちは。


国立大の２次試験、昨日から始まったようです。

塾の先生ももうやってないので受験生の心配がない。
なのでのんびり解こうかと思います。



解答集の難易には[標準]と書かれそうな、よくある感じの問題だけど、
(3)で不等式があるのが珍しい感じです。

図を描くと、こうです。



PとQがy軸対称なので、Cもy軸対称。よってb＝0
となりそうだけど、これは証明した方が無難ですね。

(3)は、求めたAの式が複雑になるので、どうやって示すか？
その選択が大事なところです。
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