三石・数学塾

こんにちは。


今年もあと半月か・・早いもんだなと毎年言っている。

引き続き、この試験の最終問題です。
見た目シンプルなものほど難しい。



n＝３を入れればこれが解の１つとわかるけど、これ以外にあるかどうか？
何となくなさそうだ・・と思えるのだけど、それを示すのが簡単でない。



有理数になるのは√の中が２乗になることで、それには上のa、bの２タイプがある。
bのように、分母分子が平方数でなくても、約分されて平方数になることもあり得る。

なので、問題の式の分数がどんな数で約分できるのか？
これを調べてみた。


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こんにちは。


引き続き、この試験。
興味深い問が揃ってますね。次の問３が最も面白い。



まず具体例を書いてみて、様子を掴むしかないですね。
色のついた部分がX、Y、Ｚになります。



小さく見積もってＸ＋Ｙ＋Ｚ＝１になるよう数を入れて行っても、
和は８／３＝２．６６・・を越えてしまいますね。

どこかを小さくすれば別のところを大きくしないと１以上にならない。
制約がありすぎるので、適当にやれば背理法で示せそうだ・・。

そういう感触なのだけど、ではどう矛盾に持ち込むか・・
このあたりの試行錯誤がなかなか楽しい問い。

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こんにちは。


１２月に入り、センター試験までひと月とちょっとですね。
入学試験の結果で、これからの人生が大きく変わってしまう。

嫌なもんですね。でも、やるしかないでしょう。

ところで、
いろいろ考えたがどうしても解けず、行き詰ってしまった・・。
こういうときどうするか？



私はこれですね。
４番なんか酷いけど、解けなくて白紙よりはマシでしょう。

引き続き、この試験。



解法の糸口がまったく掴めない問ですね。
まずは三角形、五角形とかで試してみるのがいいです。



この５文字の連立方程式を解くと、結構大変なのだけど解がみな２になる。なので、
２０１９角形でも同じ結果になりそうだけど、２０１９文字の連立を解くわけにもいかないし・・。

何かうまい手が必要ですな。
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こんにちは。


中３生対象の体験教室をしました。
来年塾に入ってもらうよう、いわゆる宣伝のための授業です。



数学を学ぶ意義／数学の勉強の仕方／三石の定理。この３本。
授業後アンケートに答えてもらうのだけど、数学の感想はというと、

・とてもおもしろくてためになる授業でした。
・つまんないと思っていた数学が楽しかったです。
・三石の定理は、とても役に立つと思いました。

嬉しいこと書いてくれてました。おせじでしょうね。
少しでも数学に興味を持ってもらえると、いいです。


ところで、毎年この時期に行われるこういう試験。
面白そうな問が並んでますね。今年も考えてみた。





こういう幾何の問題は、理詰めでは解けないので困るのだけど、

∠ＡＩＯ＝９０° ⇔　Ｉ が弦の中点になる

とか、同値な条件にすり替えていくのが、1つの考え方ですね。
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こんにちは。


新学期が始まり、塾にも新入生が加わった。
初日の生徒は何となく固いのだけど、まあ徐々に打ち解けてきますね。




「解の公式、忘れました！！」

使わないものは、忘れるように人間の頭はできているので・・。
今日忘れた生徒には、来週同じ問を解かせる。しかしまた解けないので、
次の週も同じ問をやらせる。そのうちに嫌でも覚えるでしょう。

反復は大事ですよね。

リクエストにつき、次の難題を・・。




１０項くらい書き出していけば何か手掛かりあるだろ・・と思ったが



これ以上やる気がしない・・。

しかしこの時点で、第６項は、第２項と第３項の倍数になっている。
偶然なのか必然なのか、２×３＝６だし。そして次の第７項は、
漸化式の形を見ると、２でも５でも割り切れずに１余る。


こんな小さな手掛かりが役に立つのかどうか・・。
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こんにちは。

問
A～Hの８人でトーナメント戦を行う。
どのように対戦を組んでも、優勝するのはAかBである。
こうなるような、A～Hの勝敗の表をつくれ。


JMO予選・問題１０は大体こんな感じです。４人だけ適当に作ってみると、



このようにAとBをたくさん勝たせておけば、優勝しやすい。
しかし次のように組むと、３勝しかできないDが優勝してしまう。



A、B以外が優勝しないようにするには、いろいろと条件がありそうですね。

問題はこちら。



「勝敗の組み合わせとしてありうるもの」
これの解釈の仕方が複数あるけど、８人の選手を区別して、誰か２人の勝ち負けが
異なるものはすべて別の組み合わせ、と考えることにします。

そうすれば、発表されている答えと合致するので・・。
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こんにちは。


昨日大雪警報だったけど、夜にはおさまった。
ここより東京のが降ったようだ。雪はほんと困る・・。


ＪＭＯ予選の続き。



読んでいて途中で嫌になりますね・・。
図に描くとこんな感じになった。



内接円があるときの着目すべき点は、

角の二等分にしるしをつける。
接点での垂直にしるしをつける。
等しい接線にしるしをつける。

この３つですね。
全部使えば、だいたい解けるはず。
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こんにちは。


今週天気が悪いようで、いま雪がしんしんと降り積っている。
なので塾は本日休講・・。


数学Ⅰ「データの分析」について。
センター試験で最もページを割いていて、つまらない上に面倒な分野だと思う。
しかし社会に出てビジネスマンになったとき、きっと役に立つ分野かと思う。

分散とは、データの散らばり具合を示す数。



２通りの分散の公式を、ただ単に暗記するだけでなく、

平均との差が小さいデータほど、分散は小さくなる。
データの２乗の和を考えるとき、分散の公式が使える。

こういうことを知っておくと応用がきく。
ＪＭＯ予選の続き。



適当に書いてみて手掛かりがないかを探るよりない。
このとき、添え字が同じ式でまとめて考える。



２０３や１９５のところをもっと小さくしたいが、どうすればいいか？
右端の和は常に６３になるが、このことが関係しているかどうか？

このあたりですかね、考えどころは・・。
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こんにちは。


東京新宿にて。
メニューに１杯なんと３０００円の珈琲があった。



一体どんな味がするのだろ？
手前がそれです。ちなみに友人のは７００円。

飲み比べてみたのだけど・・
７００円の方のがうまかった気がする。残念・・。


ＪＭＯ予選の続き。



総和が３０になるペアは簡単に見つかる。

（１，６）　……差５
（２，７）　……差５
（３，８）　……差５
（４，１０）　……差６
（５，１１）　……差６
（９，１２）　……差３

見方を変えて、各ペアのうちの大きい方だけの６個の和をＡ、
小さい方だけの６個の和をＢとしてみると、

Ａ＝６＋７＋８＋１０＋１１＋１２＝５４
Ｂ＝１＋２＋３＋４＋５＋９＝２４

Ａ－Ｂが３０になる。
この条件が使えそうですね。
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こんにちは。


高校入試の図形の問題で、こういう質問が来た。



図の四角形で、辺BC、線分BDの長さを求めよ。
（ラ・サール高）

BCはいいとして、ＢＤはどう解きますか？
トレミーの定理は使用不可とすると、結構めんどい。


ＪＭＯ予選の続き。上のラ・サールより易しいかもしれない。



問題文がごちゃごちゃしてますが、図を描くと割とシンプルになる。




足して９０°になる角を、有効活用せよ

こういう格言があります。
相似な三角形が見つかりそうですね。
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こんにちは。


随分前に作ったもので、三六オセロといいます。（三六はさぶろくと読む）



子どもが小さい頃、散々対戦したなと、懐かしく思った。
私の子育て論は「親子でよく遊ぶ」というもので、この時間が、
下手な塾に通わすよりずっと意義があると思っていた。

今でもそう思う。
そんな塾に通わす親御さんのおかげで私の仕事があるわけだけど・・。


JMO予選第５問。
これを解くために三六オセロを出してきた。



１個ずつカウントするわけにはいかないし、何か規則性を見つけるか、
または漸化式を作ってしまうか・・。

連続する同じ色の石は、まとめて１個とみなせる

ここが大きなヒントになりますね。

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こんにちは。


センター試験が終わり、私大と国立２次に向けて追い込みですね。
ＪＭＯ予選の続き。



整数問題で、この手のタイプは大学入試にも出ます。

小さい方から順に、≡１となるものを探す

これしか無いでしょう。
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こんにちは。


センター試験２日目。ここ飯田地方、雪は無く快晴。
これまで地元の受験生の会場は、バスで２時間ほどの信州大だったが、
去年から市内の高校が受験会場となった。これはありがたい。

受験生、健闘を祈る！！


ＪＭＯ予選の続きです。



中学の知識で解けるのだけど、対角線しか長さがわからないのが
作為的ですね。例えばＡＢの長さをxとして強引に等式を作ると、



こんな方程式など、解けない・・。
なので、もっと柔軟な発想が必要になりそうだ。
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こんにちは。

今日明日はセンター試験。
数学は明日ですね。また今年も時間を計って解こうと思う。


その前に、こないだ行われたＪＭＯ予選。
解けた問のみＵＰしようと思います。



これは数学の知識は必要なく、ウォーミングＵＰの問題。
あまり時間をかけないで見つけたいところです。


続いて問題２



これも書き出していけば、すぐに答えが出ます。
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こんにちは。


ここ飯田地方、昨日今年初の雪模様だったが、
すっかり溶けて今日は快晴。


こちらの最終問題は、整数解の問だった。



シンプルで実に美しい。
しかしこういう問は得てして難問になる。



どちらの式で行くのがいいのだろ・・？

【策１】　a^n－１、a^k－１をともに因数分解してみる
　　　⇒行き詰る・・
【策２】　a^k－１が２でk回割れるための条件を考える
　　　⇒無理っぽい・・
【策３】　a^k－１をa^n－１で直接割って（余り）＝０にする
　　　⇒割れない・・
【策４】　当て推量で答えを出し、これ以外に無いことを示す
　　　⇒この問を解くよりもムズい・・

難航しそうですね・・。
次の因数分解は使えそうなので、書き出しておきます。



（Ｂ）の右辺が約分されて、そのあと因数分解できる形になればいい。
そうなることを願って解き進めた・・。
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こんにちは。


年が明け、また慌ただしい日々が始まりそうだ。
より精進せねばと思う。

引き続きこちらです。大物の問１と問４を悪戦苦闘した。



何というか、洒落た問題と言う感じです。
高校数学Ｂの「数列」を習っていれば一応解ける問だし、数学的な面白さがある。

元の不等式は因数分解できて、次のようなシンプルな形になります。



つまり元の不等式を満たす数列は、

次の項が、前の項とその前の項の間の整数をとる

ということです。
隣り合う項の差が徐々に小さくなっていき、やがて一致する
というイメージですけど、

・ある項以降が全部一致する
・ある項以降が飛び飛びで一致する

この２つの場合がありますね。
どうやって証明すればいいのか・・悩んだ。

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こんにちは。


毎年恒例「どんど焼き」という行事。



とにかく寒い朝だった・・。


引き続きこちらを解いていきます。
問題３は図形の問題。これは中学の知識で解けそうだ。



実にシンプルですね。シンプルなほど、実は難しい・・。



何か補助線を引くと、二等辺ができたり、合同になったり、円に内接したりで、
突然解けることがあるのだけど、どうやればいいか？

ＡＰを引く
ＣＰを引く
ＢＰを伸ばす
ＱＰを伸ばす
△ＰＢＱを回転させる

いろいろやったがダメだった。なので△ＰＢＱを反転させてみた。



四角形ＡＢＰ´Ｃが円に内接すればいいのにな・・と願ったが甘かったですね。
しかし、Ａを中心にして円を描いてみたら偶然円周上にＰ´があった。

これで行けそうです。
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こんにちは。


正月は久々に全オフで、のんびりだった。
大学入試も近いし、過去問を端から解いて行ったのだけど、医学部の数学は
基本的にどこも難しい。答えを出すまでに大変な労力の要る問が多く、
受験生には気の毒に思った。まぁそうしないと点差が付かないのでしょう。

計算力をつけるにはどうすればいいか？

１．　ひたすらたくさんこなす
２．　ミスを発見する目を持つ
３．　手間を減らす工夫を考える

このあたりですかね。特に２．が弱い人は計算ミスが無くならない。
自分の計算などきっと間違いだ・・と思って進めるのがよいです。

ところでこういう試験を発見したので解いてみました。

正月の間ずっと考えており、やっと全部解けた。４時間で解ける高校生は天才だと思う。
どの問も面白く、思考力を問う良問揃いだと思った。
大問１は解答が大変なので後回しにします。



パズルですね、これは。
問題文の意味がわかりにくいけど、要は、四方が封鎖されるドミノがないようにする、
ということです。

試しに４×４の場合をやってみると、



空マスが少なくなるようにドミノを置く必要がある。４×４の場合は６個が最大っぽい。
実験していくうちに答えは見つかるのだけど、最大であることの証明をしなくては、
得点がもらえない。ここが難なところ。
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こんにちは。


２年前のＪＭＯ、確か６番まで解いてギブアップした・・。
次の問７を考えてみますか。



意味がわかりづらいけど、格子点を通る平行線が何本あるかという問題。
１つの直線上に格子点が何個あるかが傾きによって違うし、また直線の位置に
よっても変わってくる。このあたりをどうするかが難しい。

ＳＴＥＰ１　２２２本の直線の様子を探る
ＳＴＥＰ２　直線Ｌの傾きを求める
ＳＴＥＰ３　問題の答えを数え上げる

この流れで行くしかないか。
３００個は多いので、まずは３０個で調べてみる。



赤い四角の部分の点は、上下２個で１本とカウントすることになる。
１つの直線上に格子点が３個以上あると面倒なことになるのだけど、
たぶんそれは無いだろうと予測を付けて解くのがいい。


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こんにちは。


東京出張は、高速バスで中央道を通るのだけど、そのバスの中で
いろいろと線を引いて悪戦苦闘した・・。



三角形PQRの周の長さが１２
これが困った条件で、どう生かすのかが難しい。

折れ線は、まっすぐにのばせ！！

という格言（のようなもの）があります。
これが使えるといいかなと思い、RPとQPをまっすぐに伸ばしたところ、
うまくいった。

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