三石・数学塾

こんにちは。


JMO予選の第９問。これは難問。



並べ替え自体が２０１７！通りあるので、答はもっと大きな数になる。
なので「！」とか使って表すことになります。

F（σ）のすべての和
これでも十分難しいのだけど、さらに４乗せよとのこと。

次の等式を使うので、あらかじめ書き出しておきます。



それぞれ、左辺のCを！を使って書き換えれば右辺になります。
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こんにちは。


引き続きJMO予選。



幾何の問題は理詰めで解けない。
図の中の何かカギとなるものに気付けないと一生解けないですね。

この問題、BXとCXをなにげに引いてみたら、解が浮かんだ。
幾何の問はこういう偶然が多いです・・。
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こんにちは。


私立大学の入試がそろそろ始まる頃ですね。
このJMO、のんびり解いている時間が無くなりそうだ。



例えば１、２、・・・、１４の１４個の数で考えてみると、次が「よい並べ替え」の１つの例になる。



５の倍数と７の倍数を順にチェンジすれば、倍数の関係は保たれるし、
他の数は動いてないのでOKのままです。
この場合、５の倍数と７の倍数の個数が同じなのでうまくいったことになる。

探し方は見えたのだけど、いざ解答を作るとなるとよくわからない・・。
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こんにちは。


漸化式が与えられていて、１４４番目を求めるだけの問題。
しかし漸化式が変な形をしていて、一般項などたぶんわからない。



こういう問は、項をいくつか求めてパターンを見つけることですね。
１３が基準になっていそうなので、１３ごとに分けて表を埋めていく。



第６６項まではこのようになって、１の列がうまい具合に２の累乗になっている。
おまけに１４４項は１の列にあるので、

１の列には、２の累乗がずっと続く　・・・★

これが証明できればOKで、答が簡単に出る。
しかし証明ができなくてそれどころか、★を仮定すると矛盾が生じてしまう。
これは背理法の原理で、★が誤りだということが証明されたことになる。

それほど甘くないですね・・。
なので方針を変えた。
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こんにちは。


引き続きJMO予選。



文字の値が重複してはNGなので、ここが厄介ですね。
まずは個数の多い方のc、d、eの組を調べて、そのあとにa、bのペアを掛ける感じです。
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こんにちは。


授業はじめに行う３分間テスト。易しい計算ドリルなのだけど、
ビリの生徒にはペナルティとまで行かないが、机上に目印が置かれる。



その名を、「不幸を呼ぶ金ダルマ」
テストは優劣を決めるのが目的でなく、理解と意欲をUPさせるものであるべき。
なので見回りながら、ヒントをあげたり声援を送ったりしている。

「先生、静かにして！！」

私うるさいようですね・・。



弦の長さと言えば、「方べき」ですね。
もうこれしかないくらいベタな問です。
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こんにちは。


引き続きJMO予選。
第３問は、長方形の面積を求めるだけの問だった。



とりあえず数たちを文字で置き換えてみよう、という発想が大切で、
面白い問ですね。置き換えたのち因数分解ができるとありがたい。

そういう願いを持って計算をするといいです。
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先週おこなわれたＪＭＯ予選。
第２問は場合の数の問題。



２９！・・・・・・１から２９までの自然数の積
互いに素・・・公約数が１だけになる自然数の組のこと


aとbの値が大きすぎて直接わからないのだけど、わからなくても解ける。
これは思考力を試す良問かと思う。
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こんにちは。


毎年１月におこなわれるＪＭＯ予選。
今年こそ解くのをやめよう、と毎年思っている。なぜかと言うと、
解けなくてずっと悩み続け、仕事に支障をきたすから。

今年も仕事中断で、取りかかってしまった・・。




四角形は凸でなく凹んだ形になりますね。
補助線を引けば自然に求まる。
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こんにちは。


ＪＪＭＯの８番。
年内はこれで打ち止めですね。９番以降は解けたらＵＰします。



高校の数Ａ「整数の性質」で習う合同式を知らないと、解くのはキツい。

数字は０～９までの１０個あるので、全部使って１０桁の３７の倍数が作れないか？
これを考えるのだけど、どうやって３７の倍数を見つけるのかが難しい。

３７×３＝１１１
３７×３×９＝９９９
なので、ここからわかることは、

３桁のゾロ目は皆３７の倍数。
１０００＝３７×２７＋１だから、１０００を３７で割ると余りが１

これを手掛かりにするよりない。
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こんにちは。


ＪＪＭＯの７番は円の問題。
これは一応中学の知識で解くことができる。



ＡＢとＢＣの長さをそれぞれ求めようとすると一応答えが出るけど、
２重根号になる。こういう場合、その解き方は大体本解ではない。

ＡＢ：ＢＣを求めるのだから、この比が三角形の相似比にならないか？
こう考えるのが筋ですな。あと、

折れ線はまっすぐ伸ばせ！！
中線は反転させよ！！！

こういう格言があって、これが役に立った感。
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こんにちは。


ＪＪＭＯの６番は整数解の問。



大学入試に出てもおかしくない問題。式が複雑なのだけど、例えば



これなら左辺が因数分解できるので、何とか解けそうだとわかる。
なので、この形に持っていくことを目指します。
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こんにちは。


中学の図形の問題。次のｘはいくつか？



これは「三平方の定理」を使って普通次のように解く。



しかし（１）はともかく、（２）は数が大きくなるのでミスしやすい。
なので、次のように解くといいです。



（１）は、どの辺を何倍するか何で割るか？これを覚えておくと早いです。
（２）は、相似で小さい三角形を描くのが手間だけど、後の計算がラクになる。


ＪＪＭＯ予選の続き。




△ＡＤＦが直角三角形だから、ＡＦがわかればＤＦも求まる。
この図は「方べき」の典型ですね。ＤＥ、ＣＥ、ＢＥを求めて「方べき」にぶち込めばよろし。
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こんにちは。


３連休、久々オフだった。
JJMO日本ジュニア数学オリンピックは出場資格が中学生以下だけど、
問題を見る限り、高校で習う範囲もかなり含まれていてキツイですね。

今日何問か解いてみたけど、後半かなり激ムズだった。
次は中学レベルの文章問題で、思考力を試す良問かと思う。



こういう問題のように個数が多いとき、いきなりｘとおいて解こうとすると、
正論を見失う。まずは少ない場合で調べてみるといいです。



上の場合、条件を満たす人はユキ、ミキの２人ですが、アキとケンの
みかんをヒロシに移せば、この２人も条件を満たすことになる。

なので、ここでのヒロシのような負け役を設定しておくといい。
こういう考察をしたあと、文字ｘを使って数量を表していきます。
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こんにちは。


辺の長さや角度を求める図形の問題で、何か線を１本引くとうまく解ける
というミラクルな解法があったりするけど、どういう根拠で引くのか？

わからんですな・・。
これは経験、でしょうね。

JMO予選第８問。


図がシンプルである分、却って難しい。




三角形の内接円が描かれているときに考えることと言えば、

（１）方べきの定理（接線バージョン）が使えないか？
（２）△ABCの面積＝（３辺の和）×(半径)÷２が使えないか？
（３）（中心と接点を結んだ線分）⊥（辺）が使えないか？
（４）直径を斜辺にする直角三角形が役に立たないか？

このあたりですかね。
ｘとｙを設定して、ヘロンの公式や余弦定理にぶち込むのは芸が無い。
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こんにちは。

いよいよ来週から国立大の２次試験ですね。
次の恒等式は知らなくてもたぶん困らないけど、



うまく活用すると最大・最小に威力を発揮しますよ。


JMO予選の７問目。あと何問解けるかどうか・・？




シンプルで美しい。こういう対称式の問題で意識することは、

対称性を崩さない

１つの文字を消すとか、条件式を展開して引くとか・・
そういうセンスの無いことはやめよう。
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こんにちは。


数学の問題が解けないとき、どんな思考をすればよいか?

【解けないときの思考法】
１）問題文を、もう一度しっかり読む。
２）具体例を調べて、手掛かりをつかむ。
３）解けない原因は何か、これを探る。
４）知っている解法を、こじつけてみる。


私はこんな感じですかね。
解けなくてすぐに答えを見る生徒はいるけど、それでは力がつかない。
この４ヶ条だけは実践してみてほしいです。


JMO予選の第６問。



上の４ヶ条のうちの２）で、１以上４以下の整数で試してみた。


得点の平均は、（１６＋４＋０＋０＋４＋１６）÷６＝２０／３

個数が少なすぎて手掛かりが無いけど、得点が左右対称になっている。
これと同じ方法で２００個を扱うのはとても不可能。何かうまい手が必要になる。

・丸印の和をXとして、得点をXで表すのはどうか？
・数が大きすぎるので、小さく、なおかつ対称形で扱えないか？
・得点を足していくのでなく、数ごとに足すという考えはどうか？
・和の２乗の公式(a＋b＋・・・＋ｚ)^2を、うまく利用できないか？

これらが４ヶ条の４）に当たるのだけど、果たして方針が正しいのかどうか・・。
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こんにちは。

朝晩冷えますね。
受験シーズンのおり、なかなか記事を作る時間が取れず・・。

JMOの第５問です。




△ＡＢＣと△ＡＰＤが二等辺三角形になって、しかも相似なる。
ここまでは見抜けるでしょうけど、そのあとが気づきにくい。

面積が出せないときは、全体から余分を引く

この法則で行くといいです。
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こんにちは。

センター試験が終わり、国立２次と私立一般に向けてスパートですね。


数学Ⅰに「データの分析」という分野があって、センターでは必須になっている。
この分野の問いを２問作ってほしいと言われ、今週ずっと考えていた。



この相関図は相関係数が０．７になるように、苦労して作った・・。
この仕事もう勘弁ですね・・。


JMOの第４問です。




内側の１個と外側の４個に分けてカウントし、掛け合わせればいいです。
答えを見ずに解いて行ったところ、２度ほど間違えた。
私はこの試験受からないですね・・。
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こんにちは。


センター試験終わりましたね。
早速、解かねば・・。

JMOはしばし休みです。




正確な図がうまく描けないが、こんな感じになる。



三角形の内角の和は１８０°
内接四角形の対角の和は１８０°
円周角の定理（＝同じ弧に対する円周角は等しい）

この３つを使えば解けるはず。あとはどう補助線を引くかです。
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