2010年12月18日
コマ大（京大に挑戦・その１）
こんにちは。
今年もあとわずか。
１２月はあわただしいですね。
火曜夜の数学の番組。これは３ヶ月前の放送分です。
あとで、a＞１とする という注釈がつきました。
京都大学の古い入試問題。
イメージが沸かないときは、実際に組み立てをします。
ようじの長さがaで、短く切ったほうを１とします。
カンで、だいたい６割に切ってます。
いろいろと思考中・・。
今年もあとわずか。
１２月はあわただしいですね。
火曜夜の数学の番組。これは３ヶ月前の放送分です。
あとで、a＞１とする という注釈がつきました。
京都大学の古い入試問題。
イメージが沸かないときは、実際に組み立てをします。
ようじの長さがaで、短く切ったほうを１とします。
カンで、だいたい６割に切ってます。
いろいろと思考中・・。
できました。
６割に切ったこと、大成功でしたな。
なので、
a＝１÷０．６＝１．６６
だいたいこのくらいです。が、
このまま答案にしたら０点ですな・・。
つづきは明日。
６割に切ったこと、大成功でしたな。
なので、
a＝１÷０．６＝１．６６
だいたいこのくらいです。が、
このまま答案にしたら０点ですな・・。
つづきは明日。
Posted by 三石 at 22:27│Comments(2)
│コマ大
この記事へのコメント
お久しぶりです。一応解けました。
【解】
記事中の写真の四角形の各頂点を、左上の頂点から反時計回りに順にA，B，C，Dとすると、
AB=CD=DA=1、BC=AC=BD=aとなり、四角形ABCDは等脚台形である。
よって、∠DAB=θとすると、∠ABC=π-θとなる。（π：円周率）
△DABにおいて余弦定理より
a^2 = 2 - cosθ …①
△ABCにおいて余弦定理より
a^2 = 1 + a^2 - 2a・cos(π-θ)
2a・cosθ = -1
a＞1より両辺を2aで割って
cosθ = -1/2a …②
②を①に代入して整理すると
a^3 - 2a - 1 = 0 …③
③の左辺にa=-1を代入すると0になるので、因数定理より③は以下のように変形できる。
(a + 1)(a^2 - a -1) = 0
∴a = -1 , (1±√5)/2
a＞1より
a = (1+√5)/2 …（答）
こんな感じでどうでしょうか？等脚台形である証明を省略しちゃってますが…
1：aが黄金比になってますね。どうやら正五角形の一部とその対角線みたいです。
受験生はこれを何分で解かなくてはならないんでしょうか…？
長文失礼しました。
【解】
記事中の写真の四角形の各頂点を、左上の頂点から反時計回りに順にA，B，C，Dとすると、
AB=CD=DA=1、BC=AC=BD=aとなり、四角形ABCDは等脚台形である。
よって、∠DAB=θとすると、∠ABC=π-θとなる。（π：円周率）
△DABにおいて余弦定理より
a^2 = 2 - cosθ …①
△ABCにおいて余弦定理より
a^2 = 1 + a^2 - 2a・cos(π-θ)
2a・cosθ = -1
a＞1より両辺を2aで割って
cosθ = -1/2a …②
②を①に代入して整理すると
a^3 - 2a - 1 = 0 …③
③の左辺にa=-1を代入すると0になるので、因数定理より③は以下のように変形できる。
(a + 1)(a^2 - a -1) = 0
∴a = -1 , (1±√5)/2
a＞1より
a = (1+√5)/2 …（答）
こんな感じでどうでしょうか？等脚台形である証明を省略しちゃってますが…
1：aが黄金比になってますね。どうやら正五角形の一部とその対角線みたいです。
受験生はこれを何分で解かなくてはならないんでしょうか…？
長文失礼しました。
Posted by HAMAH at 2010年12月19日 00:39
HAMAHさん。
お久しぶりです。
余弦定理、うまいです。
１９６６年の出題のようで、
古すぎて資料がありません・・。
お久しぶりです。
余弦定理、うまいです。
１９６６年の出題のようで、
古すぎて資料がありません・・。
Posted by task
at 2010年12月20日 21:33
at 2010年12月20日 21:33※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
