三石・数学塾

こんにちは。


新車がやっと届きました。



３月に契約をして、なんだかんだと納車が遅れてやっとです。
人気があるのだとか。最近の車は、乗り心地抜群なのだけど、
ほんとにメカニズムというか、いろんな装置があってわからぬ・・。


数学の話。
カタラン数というのはこちら。

今日はこれを考えてみますか？



この答えが「カタラン数」になるとのことです。

玉を入れていく途中で、白玉の方が多くなってはダメというルールです。
全パターンを書き出していけばわかるのだけど、何かうまい求め方はないか？

１つは、赤玉をa、白玉をbとして取り出した順に左から並べていく。例えば
　　aababbaab
という１０個の順列は、左から見ていくと、いつでも
aの個数≧bの個数
になっているので条件に合う順列となります。
なのでこういう並び方の総数を求めればいい。けど、どうやって計算式をつくるのか？


別の考え方で、次の図。



１回目は必ず赤で、最後は必ず白になります。その間は、
入れる玉の色と図の進む方向を対応させることにすると、場合の数は
上の図の道順の総数に等しくなります。
これはいろんなサイトに載っている方法です。


赤５個、白５個なら数えていけばわかるけど、
赤n個、白n個の一般式を求める場合、どうすればよいだろう？

NGとなる順列の個数を引くという方法で解くのだけど、
そのNGの順列が何個あるのか、求めるのが難しいですね。
上の解き方を見つけた人はすごい。もちろん私ではないです。

また明日。