三石・数学塾

こんにちは


８月。学校は夏休みに入ったところですかね。
ここ東京、コロナウィルスがなかなか収束しないので、
私の会社は従業員を在宅勤務にして、社長の私だけ毎日出勤。
広いフロアに私1人、相当不便だがだいぶ慣れた・・。

仕事が溜まっているのだけど、ちょっとひと息。
「加比の理」というのは次のこと。



２つの分数が等しいと言うのは、比が同じということだから，
足しても引いても比は変わらない。［例］を見れば明らかだと思う。
ただし，等式を作ったときに分母が０になる場合はそもそも
分数が定義されないので，その場合だけ除く必要がある。

加比の理が使えそうな問を１つ。



例えば、a＝１、b＝２、c＝－３とすれば、どの分数も－１になって等しい。
a＝２、b＝３、c＝－５とすれば、どの分数もやはり－１になって等しい。

３つの式はa、b、cを循環させたものだから、



これを示せばあとは不要です。
ではどうやって加比の理を使うのか、ここが面白いところです。

新しく作った式の分母が０になる場合は加比の理が使えない。
なので分母の文字式が０になってしまう場合の吟味が必要なのだけど、
この場合は分母になるa－c、c－b、c＋aともに０でないのでOKです。

ちなみに普通に証明すると次のようになる。



こんなとこですかね。
加比の理を使わないと解けない問はたぶん無い。なので知らなくても大丈夫だけど、
知っておくと等式の見通しがよくなって問題の本質が見えてくるかと思う。

また明日。