三石・数学塾

こんにちは。


都内１日雨で、えらく寒いですね。
仕事の話。大学入試用の試験問題で、

２次関数の問題を１問作ってほしい。明日までに！！

急な依頼が来ました・・。
入試問題を作るとき、１問でいろいろな知識や応用力が問えるもの、
その辺の問題集とかぶらないもの、受験生に点差がつけられるもの、
このあたりに注意が必要。なので作問は簡単でないです。

まあ何とか無難な感じのが完成して、納品完了。


ちょっと一息。
次は一応２次関数の問題で、ネットを探せば出てくるかな。




断面が長方形になる場合だけを考えるのは教科書にあるけど、
上の問は折り方も自由なので、結構ムズい。

試しに図をかいて面積を計算してみた。




どこで折り曲げるか？
何度に折り曲げるか？

この２つを考えないといけないので、２変数になりますね。
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こんにちは


８月。学校は夏休みに入ったところですかね。
ここ東京、コロナウィルスがなかなか収束しないので、
私の会社は従業員を在宅勤務にして、社長の私だけ毎日出勤。
広いフロアに私1人、相当不便だがだいぶ慣れた・・。

仕事が溜まっているのだけど、ちょっとひと息。
「加比の理」というのは次のこと。



２つの分数が等しいと言うのは、比が同じということだから，
足しても引いても比は変わらない。［例］を見れば明らかだと思う。
ただし，等式を作ったときに分母が０になる場合はそもそも
分数が定義されないので，その場合だけ除く必要がある。

加比の理が使えそうな問を１つ。



例えば、a＝１、b＝２、c＝－３とすれば、どの分数も－１になって等しい。
a＝２、b＝３、c＝－５とすれば、どの分数もやはり－１になって等しい。

３つの式はa、b、cを循環させたものだから、



これを示せばあとは不要です。
ではどうやって加比の理を使うのか、ここが面白いところです。

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こんにちは。


地方から東京に越して、はや１年。
マンションで息子と、男２人の生活をしてきたけど、だいぶ慣れた。
炊事、洗濯、ゴミ出し。どれも慣れた。



ある日の夕食。地味ですね・・。
料理はこれまでほとんどやらなかったけど、

みそ汁　つくり方

で検索したら動画がヒットして、そこで習った。
毎日の食事のおかげか、この１年で血糖値とコレステロール値が
どちらも下がった。東京に越してきて健康になったとは、不思議だ。


では、食べ物の問を１つ。



消費税は無視します。


高校の数学Ⅱで習う「線形計画法」というもので、
条件を座標平面にうつして考察するという、面白い考え方をします。

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こんにちは。


都内から外に出られず、実家に帰ろうにも家族にNGされている。
私がもしコロナにかかっていたらマズい、と言うことで。
いつになったら安心して暮らせるのか・・。

私の会社は数学の会社。２年目に突入。

ウィルスの影響で売り上げが落ちた・・

こうならないようにせねば。
いまも仕事中だけど、ちょっと一息。


ずいぶん前の記事ですが、ルート２のシリーズ
その１　
その２　
その３　
その４　

その５は、
面積が２の長方形を徐々に正方形に近づけていく
という方法を考えました。



縦横の平均を次の長方形の縦にしていくと、だんだん正方形に近くなっていくので、
その1辺の長さが√２に近づいていくはずです。



縦の長さは、２、３/２、１７/１２、・・・のように減少します。
これが最後は√２に行くことを示せばOK。

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こんにちは。


２０２０年を迎えました。
今年も大都会の東京で、小さな会社を営む。
数学を学ぶ中高生に、よい物を届けたい。
という気持ちで仕事に励んでいるけど、
採算が合うようやりくりすること、簡単でない。

まあ頑張るしかないか。


初詣は、飯田市内の「元善光寺」。
毎年恒例、絵馬を飾るのだけど、今年はこちら。



満たすa,bが無いかもしれないけど、
探してみたらありました。


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こんにちは。


神社にこのような「シメ縄」というものをかける作業。



５年に一度当番が回ってきて、稲刈り後のワラを、
このような立派なものに作り上げるのが当番の仕事。
どうやって作るのかというと、ワラのたばを巻いていくのだけど、
３つのラインに分けて順に内側に巻くように束ねていく。
このとき、中央が最も太く、両サイドが細くなるように、
ワラの量を加減する。

経験が伴う、難度の高い作業だ。
毎回思う、田舎の風習の困ったとこですね。


オリジナル数学演習１A２B
自学用の解答集を作るため、全問自力で解いてます。
これも難度が高いけど、シメ縄作るよりは易しい。



何年か前の東大入試問題。

xとyが独立に動くので、まずはどちらかを固定して最小値を求め、
次に、固定しておいた文字を動かしてさらに最小値を求める。
こういう考え方を予選決勝法というようです。

この問を解く前に、まずは次を解いてみるといいです。



aが正か負か０かわからないので場合分けがいるのだけど、
ｆ（－１）とf(１)のうち小さい方が最小値
と考えれば、答えはこうです。
－|a|＋b

大学で数学を勉強しようと予定している人は、
こういう表現法に慣れておくといいかもです。
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こんにちは。


今年の仕事も今週一杯か・・。
残ってしまったな、正月の宿題になりそーだ。


オリジナル数学演習１A２B
解答集が無いのでいま自力で解いてます。

一度解いておくべきだな、と思う問が随所にあって、
良問揃いです。さすがによいセレクトしてあるなと思う。

これをじっくりやれば、かなり実力が付くかと思うけど、
なにせ解答がなくては演習にならない・・。残念だ。


次は「数列」の分野のB問題。



これは有名な順列の問で、「並べ替え不等式」で検索すると出てきます。
理詰めでは解けそうにないです。こういうときは、

具体例を調べて一般化せよ

例えばn＝５のときはこうです。



登場回数が多いものをなるべく小さい数にすれば、全体の和は小さくなるはず。
なので最小となる順列は大きい順に並べた（５，４，３，２，１）だろうと予想できます。

大きい順に並べたものが、なぜ最小になるのか？

これをきちんと証明するとなると、簡単でないですね。
上の三角形をnまで書いていったら、次の解が浮かんだ。
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こんにちは。


大学入試の話。
センター試験が、来月に行われるもので最後となり、
次の年から共通テストというものに変わるようです。

数学に記述式が加わるということだったけど、
見送りになったと先日ニュースにあった。
共通テストの対策問題の作成という仕事も請けていて、
今年はもう、散々作らされて来た。

作問は簡単でなく相当苦労した。勘弁してほしいな・・。


話は変わって、これは大学受験用の問題集。



１A２B全範囲で、問題数は３７５問と豊富にある。

おもに学校直販のものなので、解答集が売ってないです。
これを全部解くことになり、せっせと解いているのだけど、
なかなかの良問が揃っていてかなりイイですね。

シンプルであるが深い。そして応用がきく

良問とはこういう感じ。
もっと本屋で売ってほしいと願う。

いくつか解いてみますか。良問だと私が思う問を選びました。



１　埼玉
２　慶應（改）
３　東大
４　お茶女

解けたあと、気分が良くなるような問を選んだ。
この４問全部解けた人はかなりのツワもの。


今日は１番のみ。
縦横高さをx、y、zとおいて式をつくると、対称式の形になる。



要はこれを解けばいい。

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こんにちは。


今年ももう終わりか早いもんだな・・
と毎年言っている気がする。

数学の問を作ってお金をもらう。
東京で会社を経営するハメになってから、どうなることやらと
不安だったけど、まあ何とか年を越せそうな感じです。

ラクに儲かる話など無い。起業などしない方がいいです。
一息ついて、今日は面倒な方程式を解いてみようと思った。



高３受験生は一度は解いておくと、忍耐力がついていいです。
連立方程式を解くときの考え方は

その１　文字を１つずつ消していく

なのだけど、上の方程式では困ってしまう。
例えば３番目の式をzについて解いて、



これを２番目の式に代入してみる。



これ、解いてみようと思った人いますか？やめといた方がいいです。

その２　式を足すか、引いてみる

なぜこうするのか根拠がないけど。
とりあえずやってみると手掛かりが見つかることあります。



式の左辺がx、y、zの対称形なので、差をとれば交代式になります。
その結果、次のようになって一歩前進です。



同値なので、右側に書いた連立方を解けばいい。
同じ因数があってラッキーなので。

その３　文字を消せないときは、次数を下げる

２次の式を１次に落とす。
どうやって下げるのかは、式の形でケースバイケースです。

紙に書いて、自力で解いてみるとなかなか面白いけど、
解答を鑑賞してわかった気になる、だけでもいいです。
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こんにちは。

東京に越してきて半年が経った。私の会社、何とか続いている・・。
毎日の生活に余裕が無く過ごしてきたけど、最近やっと落ち着いた。

ので前から行きたかった神保町という街へ出かけた。



古本屋が立ち並ぶ靖国通り沿いに、数学書が沢山置いてある店がある。

群論入門　１９６４年第１刷発行
４２０円

棚の本全部欲しいくらいだったけど、今日はこの１冊。
売値は本の裏表紙にシールが貼ってあり１４００とあった。

「群」というのは検索をかければいろいろ出てくるけど、
閉じていることが大前提で、あと次の３つを満たすことです。

１　結合法則が成り立つ　
２　単位元がある　　
３　逆元がある　　　

群の１例を、考えてみますか。




答え
（１）例　（１〇１）〇２＝２〇２＝１、１〇（１〇２）＝１〇３＝１より、OK
（２）１〇e＝１となるeは３。２〇e＝２や３〇e＝３となるeも３になる。（答）３
（３）１の逆元・・・１〇x＝３（単位元）となるxは、２　　（答）２
　　２の逆元・・・２〇x＝３（単位元）となるxは、１　　（答）１
　　３の逆元・・・３〇x＝３（単位元）となるxは、３　　（答）３


こんな感じですかね。初めてみる人は意味不明かもしれないけど、
面白いと思うか、つまらないと思うか。前者の人は少し変わった人かも・・。


本に載っていた演習問題を１つ。



昔の数学書は、だいたい演習問題の解答が載っていない。この問もそうでした。
どなたか解いてみませんか？

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こんにちは。


「互除法で解くやつ、面倒だ。ほかに手は無い？」

高校の数学Ａの中に「整数の性質」という分野があり、ここが面白い。
次は、ずい分前に記事にした問題。



こういうxとyの１次方程式を解く問題が、教科書にあります。
これを解く方法にはいろいろあって、ざっと挙げるとこのくらい。

策０）　xに１、２、３、・・・、２２を順に入れる。
策１）　ｙについて解いて、整数になる条件を使う。
策２）　式を置き換えていって係数を小さくする。
策３）　互除法の結果を使って式をつくる。
策４）　剰一術という和算の技を使う。
策５）　modを使う。
策６）　その他

策０）は、無策ですが、係数の大きい方のxに１から順に入れる方が手間が少なくて、
調べる数は、yの係数より１小さい２２までです。その間に解が必ず1つだけあるので、
根気よく調べれば２２回以内にみつかります。

策１）は係数によっては解きにくくてやりたくない。
策２）は互除法の類似品です。
策３）が教科書の解法でこちら。
こんな感じで結構わかりにくくてどうも評判が悪いです。
策４）はすごい。こちら。
しかし、意味不明ですね・・。未だにわからない。

策５）と策６）を考えてみました。
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こんにちは。


毎日暑いですね。
こちらは自作の、高３夏休み課題帳。



入試数学演習ⅠＡⅡＢ／使用上の注意
１）解けなくてもすぐに答えを見ないこと。
２）この本の解答を、毎日読書すること。
３）１つの問題を、必ず２回は解くこと。

たった２０問だけど、１問の中に多くの要素が含まれるよう問題を選んである。
冊子見本はこちら。塾は休業中。せっかく作ったのでどなたか活用ください。


数学の話。
定理や公式を証明することは、入試ではあまり出ないけど、証明をする過程の中に
結構重要な手法が隠れていることが、稀にある。



教科書を調べると、大体次のように垂線を引く。



これを見ると、三平方の定理と違うところが右辺の「－２ｃｘ」のところで、
bccosAはベクトルＡＢとＡＣの内積になることが発見できる。
また、逆にＡＨを求めたいときは、上の２行目の式をｘについて解けばいい。

問１　Aが直角や鈍角の場合も成り立つことを確かめよ。

めんどくさくなったのか、こう書いてある教科書もありますね。



これらを使って余弦定理を導くことができるというので、考えてみた。

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こんにちは。


８月に入り、ここ東京は連日の猛暑日。ただただ暑い・・。
こんな夏は避暑に長野へ帰るのがいいのだけど、長野も暑いようだ。


「身近な所で数学を使って物事を解決する、こういう問題を作ってほしい。」

という依頼が来ていて困っている。こんなものなかなか無いですよ・・。

身近な所に数学が生かせるのだから、数学を勉強する意味があるでしょ？
などと言うのは綺麗ごとであって、数学に興味を持つ生徒など増えやしない。

問題を解く中でのちょっとした考え方が、実生活のちょっとしたことに
関連しているな、と思うことはある。見えないところで役に立っている。
でも数学で一番大切なことはと言えば・・

問題を解くこと考えることが、面白い。

こう思えるかどうかですかね。
そのような問題をいま必死に作っているが・・今日は息抜きでパズルを１つ。



どのパズルの本にも大体載っている、有名なやつです。


（答）１６分かと思いきや、答えは１５分。


家から店に戻る２回をＡでやると、合計１６分ですが、
Ｂを家に置いておき、ＣＤで行ってＢで戻るというテクを使うと、１５分になります。


設定時間を変えた場合、どうなるか？
これを論理的に考えてみました。



ａ、ｂ、ｃ、ｄの時間によって、答えが変わるのかどうか？
ここからはパズルでなく、数学の問題ですね。
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こんにちは。


数学の問題を作る仕事をしている。
数学が好きで面白いと思うからやっているのだけど、簡単でなく労多いです。

「問題を作ってほしい。データの分析の・・」

この分野は高校の数学Ⅰの中に最近入り込んできて、センター試験にも
結構ページ数を割いている。作問が大変なので執筆者が少ないのだとか・・。

私だって、同じこと。



これは、作問したがボツになった図。

偏差＝値－平均
分散＝（偏差の２乗）の平均
共分散＝「（Xの偏差）・（Yの偏差）」の平均

そして、


何なのか意味がわからないが、これらは暗記するしかない。
相関係数は－１から１までの値を取ることが、教科書に載ってます。


２０１９明治大・改

教科書に載っていることをあえて証明させる。
こういう入試問題もたまにありますね。良いと思う。

この２問の証明は、実に奥が深いです。

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こんにちは。


桜はまだつぼみ。
娘に車を買ってあげた。しばらくは私が乗るのだけど。



スイッチを押せばエンジンがかかる。
衝突を感知すると、音が鳴る。

ハイテクだ。
とにかくスイッチが多すぎてわけがわからぬ・・。




東工大の入試問題。今年のはまだ解いてないけど、第１問にこれが出たようです。
調べてみると１９６１年ＩＭＯで出題されている。

実に、美しい。

解き方はいろいろあると思うけど、ネットで調べると座標を使ったり、
ヘロンの公式で結構面倒なことしていた。

シンプルに解けないものか？
これを考えてみた。

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こんにちは。


「卒業しました！」

証書と花の写真を添付したメールが来た。
色々受検したがなかなか決まらなくて、随分残り勉強をした生徒
だったけど、決まってよかった。

自分の人生おおいに楽しもう！

こう返信した。


次は新聞の朝刊に載っていたのでしょうか？



定積分をゴリゴリ計算するとxとyの式が出てきて、
それを平方完成すれば最小値がわかる。
この最小値がnの式になるはずで、あとはnを無限大に飛ばせばいい。

しかしスゴい式になりますね。嫌になってしまった・・。

（注）式の中のnは自然数だと思うけど、正の実数とみて解いた。
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こんにちは。




正月の風物詩。「どんど焼き」と呼んでいるのだけど、
調べてみると「左義長（さぎちょう）」が正式名称らしい。


数学の話。
来週はセンター試験。教え子は皆すでに推薦が決まっているが、
申し込んであるので受検するらしい。
なので今週の授業もゆるい・・。

シュワルツの不等式
これの派生ということで、塾ではアーノルドと呼んでいる次の式。



実に美しい不等式で、どの参考書にも必ず載っている。
今日は、どれだけ別解が作れるか？これを考えてみた。

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こんにちは。


今年の授業がすべて終了。
しばしお休みです。

数学のノートには問題を解いたあとの計算式しか書いてない。
そういう生徒は結構いるけど、大事なことはメモっておくべし。

これをスマホで撮っておけ、と伝えた。


大体この４つのどれかで解けると思うけど、例外もありそうですね。
次は、小問の中に埋まっていた相当な難問。


Ｈ３０　山梨大・医

条件が２次式で、求める式も２次。xyが余分にあるので１文字消去など大変だし、
＝ｋとおいてもグラフが描けない。sin、cosに置き換えもできない。

参考書とかに載っていないパターンで、ちょっと工夫が要りますね。
いろいろ考えてみたところ、４つほど解答が見つかった。
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こんにちは。


これはホワイトボードのスケッチブック版のようなもの。



黒板に板書する代わりに使おうと、買ってみた。
授業を通じて数学に対する意識や意欲を高めて欲しいと
つね思っていて、そういう授業を心がけては来た。

要は、学ぶことが楽しい、もっとできるようになりたい
こういう気持ちにさせること。

まだまだ、です・・。



ピタゴラス数はこちら。
この事実はよく知られているのだけど、自分で証明したことが無かった。
例えば、
（a、b、c）＝（３、４、５）　⇒m＝２、n＝１とすればいい。
（a、b、c）＝（５、１２、１３）　⇒m＝３、n＝２とすればいい。

しかしm＝３、n＝１とした場合、（a、b、c）＝（８、６、１０）となって、
全部偶数なので２で割ると、上の（３、４、５）と同じものになる。
m、nの取り方によっては最大公約数が１にならないことがある。

示したいことは、

最大公約数が１であるピタゴラス数のどんな組に対しても、
うまい自然数m、nをその都度見つけることによって、
ピタゴラス数をm2－n2、２mn、m2＋n2という形で表すことができる。

ということです。

（注）wikipediaにはm－nが奇数とか、必要十分とか書いてますが、
そこまで言及しないことにします。証明が面倒なので。
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こんにちは。


暑いですね。
今日一日ダレていて能率が上がらず・・。

ちょっと息抜きに、こういう問題。



樹形図を描いていくと、



こうやって行けばいつか解けますね。
うまく解くには、どうアプローチすればよいか？

策１　方程式の解を探す
策２　漸化式を作る

策１で行けそうです。
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