三石・数学塾

こんにちは。


都会は今日から新学期でしょうか。
土日、田舎に帰りしばしの休息だった。



これは「流しそうめん」というもの。
上から流れてくるそうめんを箸ですくって食べる。
ただそれだけなのだけど、面白いもんですね。

そうめんの後はジュースを流し、ストローで吸う・・。
夏休みの楽しい体験というもの。大人になっても覚えているものですね。
そういうものの１つになってくれればいい。そう思う。


昔の有名なパズルを１つ。



ジュースの移動は、そそぐ方をカラにするか、受け取る方を満杯にする
という規則とします。また、この3つの容器以外の容器は使えません。

方程式をつくると、
Aをｘ回、Bをｙ回満杯にするとして、その差が４Lになる場合を考えて、
３ｘ－５ｙ＝４
または
５ｙ－３ｘ＝４
このようなｘ、ｙを求めれば、これが移し替えの方法になります。

これ、図を使って解く方法があるので、それで解いてみた。
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こんにちは。


東京も、最近やや涼しくなった感じです。
大都会に越してきて４ヶ月。人が多い、空気がまずい・・
それもだいぶ慣れてきた感じです。


今年の試験問題がUPされていました。こちら

この中の「中高共通数学」。後半が変な問題だけど、
大体高校の範囲の問題で、偏差値５５の高３生なら皆解けそうな問ばかりです。

いくつか解いてみますか。



青チャートに載ってそうな、群数列の問題。
並び方の規則性が斜めなので、三角形に足していき、

三角数を、ひと区切りとする

のがいいです。
しかし、なぜか（１）に変な誘導がありますね。これに引きずられると（２）が解きにくいです。
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こんにちは。


東京生活が２カ月過ぎた。
見るもの聞こえるもの、皆新鮮で興味深い。
予算と時間があればいくらでも楽しめるのだが。

両国国技館近く、ちゃんこ鍋を食べに行った。



抜群にうまかった。

国技館には昔２度ほど升席に座れたことがある。
また行きたいけど、チケット手に入れるすべが無い・・。


数学甲子園の続き。
実に面白そうなイベントだ。当日、部外者は入れませんかね？


※数検協会の許可を得て掲載しています

２乗、３乗、４乗、・・・とあるけど、びっくりしてはいけない。
２乗だけ調べればあとは不要です。

XとYの下３桁が同じ　⇔　Ｘ－Ｙは１０００の倍数

こういう発想ができるかどうか、ここがカギですね。
続いて、



分子を分母で割って商を求め、それの一の位を見ればいい。
こういうことなのだけど、数が大きすぎてわり算できない。

共通なものは文字で置き換える

因数分解をするときにこういう手を使うけど、そうでなくても
いつも意識しておくといいです。
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こんにちは。

東京で生活を始めて、１か月経った。
生活のスタイルが大きく変わって、何かと新鮮で、
見るもの聞こえてくるものに興味や疑問が沸く。

子どもにとっては、田舎より都会の方がやはり、
勉強をする環境が揃いやすいかもしれぬ。そう思った。


最近購入したものといえば・・



マンション暮らしでは大音量で音楽が聴けないので。
ブルートゥースとは何？
配線が無いのが不思議なものですね。


写真の３点が私のカバンの中身。
その、カバンの問を１つ。




高校の数学で
n(A∪B)＝n(A)+n(B)－n(A∩B)
という公式があるけど、これを使っても解けそうにないですね。
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こんにちは。

GWのさなかですね。
今月から東京暮らしとなって、新居に慣れないこと、
生活に不自由なこと、多々ありますね。

徐々に慣れていくしか、ないか・・。



我が家の池、水漏れが起こりいま修理中。
金魚が、鳥かケモノに食べられるという事件が起きていて、
なので鉄格子でも付けようか、と思案中。


数学の話。
整式

高校１年のはじめに習う言葉で、教科書には、
単項式と多項式を合わせて整式という、と書かれています。
数、文字、数や文字の積、これら単体か、和の形の式のことです。

整式の問を１つ。



P(1)というのは、整式P(x)のxに1を代入して計算した結果のこと。例えば



これらは皆P(1)＝6となっているが、P(7)＝360にはならない。


P(x)の次数がわからない上に、条件が２つしかないので、普通は式が決まらない。
しかし与えられた条件が作為的なので、何とか求まる。
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新年あけましておめでとうございます。


初詣は市内のお寺に行き、
やることといえば奉納です。



合格祈願と書かれた絵馬の横に飾ります。
江戸時代には神社に数学の問を奉納した、という文献を見て、
それを毎年真似している。自己満足のバカですね。

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こんにちは。


GWに入った人も多いかと思います。
今年は休暇が取れると思ったけど、原稿の〆切が迫っており・・
また仕事かぁ・・。


息抜きにパズルを１つ。



魔方陣その１はこちら。

今回の方がはるかに難です。
適当に数を入れて行ってうまく合えばいいけど、そう甘くない。
三角の和がいくつになるか？これもわからないし・・。

特別な１か所に着目して、解の候補を絞り込む

整数問題でもこういう考え方ありますね。



この問の場合、中央の数が「特別な１か所」となります。
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こんにちは。


新学期が始まりましたね。
新１年生の皆さん、頑張れ～～～！！
今は新鮮な気持ちでしょう。この気持ちを成長の糧にしてほしいと願う。


√２が無理数であることの証明。
これは高校数学Ⅰの教科書に載っているし、いろいろな方法がある。
一般的な証明はこちら。


次を示せば、√２が無理数であることも含まれる。



今年の早稲田・理工で似たような問が出ている。√でなく３乗根だった。

・両辺の素因数を比較する方法
・両方pの倍数になることを言う方法

これ以外の方法はないものかと思案したけど、なかなかないですね。
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新年あけましておめでとうございます。

また１つ歳を取るのか・・という感じですね。
経験は増えていくが、知力体力は確実に落ちていく。

まぁそれをカバーするためにも一層努力せねばと思う。
と同時に、自分がどれだけ人の役に立てるかどうか。
歳を取るごとにそう思うようになった。

初詣は毎年のこと市内のお寺で、
毎年のこと、問を奉納した。



江戸時代、神社に数学の問を奉納したと聞き、それを真似した。

ただの自己満足でしょうね、こんなもの。だけど、
日常に数学が当たり前にあって、それを解くことを楽しむ。
そういう世の中になればなと、つね思っているので。


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こんにちは。

年が終わりますね。



毎年のこと、我が家の門松はこういうものを作る。竹や松など山に取りに行ってきた。
大袈裟だと思うけど、家内安全、五穀向上を願っての昔からの風習かと思う。


今年度最後の問題。
ちょっと面白いものを見つけた。




n＝6,7のときはこうなります。



nの値と一番下の数に規則性があるはずだけど、
見えないですね・・。

わかるのは、どの行も等差数列で、公差が下に行くほど２、４、８、１６、・・・と
２の累乗になるらしいということ。


一番上の各自然数が、一番下に行くまでにそれぞれ何回足されるか？

これを考えてΣの式を作るのがよさそうだ。
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こんにちは。


数学が苦手と言う高一生の授業にて。

いつから苦手なのかと聞いたところ、小５の「割合」のとこだと言うので、
今日は算数の授業をした。


（注）最近の算数では「歩合」は指導要領から外れました。

買い物のとき「２割引き」と書いてあっても、いくらなのかわからないらしい。
知らないと損をするし、知っていて当然のことだと言ったのだけど、
案外わからない生徒は多いかもしれない。

高校３年間で、何とか数学嫌いを治したい。それが課題ですね・・。

割引の問題を１つ。


例えば定価が５万円だとすると、

A店・・・代金４万円
B店・・・代金５万円だが、次の買い物で１万円値引き

となる。このことを、

A店では、５万円の物を４万円で買った
B店では、実質６万円の物を５万円で買った

というふうに考え、値引き率を比べます。

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こんにちは。


小学校の算数の教科書が必要になり、１年から６年まで全部購入した。



カラ―でイラストもたくさん使っていて、わかりやすいですね。
教科書＝つまらない
子どもの頃そう思っていたけど、いまの教科書は工夫があって面白い。


算数の問を解いてみますか。
４年「がい数を使った計算」



教科書とは数値、設定ともに変えてあるけど趣旨は同じです。

がい数＝概数＝およその数
この問題、なかなか良問だと思う。

（答）ユキ…イ（四捨五入）
　　　ケン…ウ（切り上げ）


続いてもう１問。
５年「単位量あたりの大きさ」



１７０÷３５０＝０．４８５・・
２４０÷５００＝０．４８

こうやって１ｍＬあたりの値段を出す方法が教科書に載っているけど、
小数にしないで比べる方法もある。
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こんにちは。

村の夏祭りにて。



一日焼き鳥を焼いた。
毎日数学ばかりやっているのでこういう体験は楽しい。
４００本が完売となった。

売店の問題。



算数オリンピックでこの手の問を見かけたのだけど、「算数」だけで解くのはキツいと思う。
メロンだけを聞いているのが作為的なところで、メロンに限って答が１通りに決まります。
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こんにちは。


１日仕事を休み愚息の入学式に行った。




大学を卒業すれば普通就職するものだけど、いまはその上に進む学生が
多いのだとか。親としてはそろそろ働いて欲しいのだけど。
我が子の入学式もこれで最後か・・
成長を喜ぶとともに妙に寂しい気分でこの空気感を味わっていた。


今年の長野県公立高校入試で、円周を回って点を取る変な問題が出ていた。
こちら。未だに出題意図がわからんですな・・。

もっとシンプルで割と有用だと思う問を１つ。



nは自然数すべてを想定しているけど、１３以上のときは１２を引いた数と同じなので、
結局n＝１～１１までを調べればいい。割り算の余りを考えるのと同じことになります。

適当に数を当てはめて調べれば答えが見えてきますね。
しかし理由を説明するとなると、なかなか大変だった。

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こんにちは。


今年度、高３生の受験用テキストがこれに決まった。



中くらいの生徒にはちょうどいい難易度で、レイアウトが見やすく、
入試問題もうまくセレクトしてある。なかなかいい問題集だ。

しかし学校直販の為、詳しい解答が手に入らないですな・・。
なので、写真のように詳解を手書きで作っている。ああ面倒。

コピーが欲しい方、差し上げます。

今日はパズルを１つ。




こういう数字のパズルを授業のウォーミングアップでよくやるのだけど、
解答に時間のかかる生徒多いですな。もっと数をこなさねば。

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こんにちは。


来週から４月、新たな年度が始まる。
塾にも新入生が入って来るでしょう。楽しみですね、どんな子が来るか。


√２が無理数になることの証明は、高校数学１の教科書に載っていて、
結構面倒な論法になるのだけど、次のように証明するのはOKですかと、
質問が来た。
一般的な証明はこちら。



かなりさっぱりしているけどどうなのだろ。
約分できない、というところが何だか気持ちがよくない・・。


√２が無理数になることの証明はいろいろあるけど、ほかに無いものか・・？
それで、一風変わった証明法を発見した。
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新年あけましておめでとうございます。



牛に引かれて善光寺。
今年はなぜか、閑散していた・・。

金ダルマを購入したのだけど、メッキがどんどん禿げてきた。
不良品なのか、そういう物なのか？何だか新年早々滅入る・・。


例年の通り、数学の問題を奉納した。




電卓使って小数に直せばすぐわかるのだけど、そうでない解法で。

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こんにちは。


今日の授業は半分遊びだった。



ごちゃごちゃ読みにくいですね・・。

分数があるとき、まだ約分できるのかどうか？

これを判断する１つの方法を発見しました。
Ａ、Ｂを異なる自然数とします。



これを使って解く方法を説明したが、たぶん生徒は理解できてないと思う。
しかしこれが何かのきっかけになって、数学に興味を持ってくれればいい。
そう思って毎回珍定理を紹介している。

次は、数検１級の過去問。



２数の最大公約数を求めるには、ユークリッドの互除法を使えばいい。
しかしこの格調高い法則は、解が出るまでえらく時間がかかるのでやめた方がいい。
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こんにちは。


もう１１月ですか・・近頃ぐっと寒くなりました。

授業にて。



「ずらし算」とは、繰り上がり、繰り下がりを避けるべく２数を微調整する計算法。
これを使うと、計算のストレスが無くなり、ミスも防げるし、何より楽しくなる。
と説明したが、

「普通にやった方が早い」

三石の定理。毎回生徒に教えているが、どうも実用的でないらしい・・。


次は、有名私立中学の入試問題。




小学６年生が、これを解くとは・・。
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こんにちは。

高１生の授業にて。
何日が何曜日なのかを求める方法を説明した。
これはｍｏｄを使うので、モッズ法とか呼んでます。




「わけわからん・・」
「イミフだ～～」

合同を学校で習ってないので無理かなと思ったが、
すこぶる不評だった・・。




９／１から数えて何日目か？
これがわかれば答が出ます。
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