三石・数学塾

こんにちは。


長かった・・。
公立高校の高校入試。
４７都道府県のすべての問を解き終わった。

それぞれで特徴があって、易しい県もあればムズい県あるし、
解きやすい県もあれば、文章が長くてイヤになるのもある。

機会あれば、記事に紹介します。




やっと休息のとき。
今日はこういう問で。




離散の不動点定理と言うようで、過去に大学入試にも出題があります。




一致しないようにカードの数を書いていっても、どこかで一致してしまう。
何となく明らかに見えるのだけど、ではどうやって示すのか？
簡単でないですね。

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こんにちは。


両国にて。



マス席という４人掛けの席に靴を脱いで上がり、
座布団に座ります。結構狭い・・。
力士のぶつかり合い。迫力がTVで観るのとは全然違った。
相撲観戦、イイですねぇ。


相撲の取組の問いを１つ。



とあるスポーツクラブで実際にこういうことが起こって、
適当に組を作ったらうまく行かなくなった・・。
うまく行く方法はないものかと、考えておりました。


まず９人を３組に適当に分けて、名前をつけておきます。



それぞれで、１と２が対戦し３が行司。次に、１と３が対戦し２が行司。
最後に２と３が対戦して１が行司。これで終了です。（順不同）
このあと、３人の組を替えて同じことをするのだけど、うまく組分けしないと
取組の済んだ力士どうしが同じ組に入ってしまいます。
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こんにちは。


３連休の初日。
こんなものを作ってずっと考えている。




問題はこれです。



季節が変ですが・・。
例えば、A男とA女が行って、A男が帰ってきて、次にB男とB女が行った場合。



海に残ったA女のところにB男がいるのでアウトです。
B男のそばにB女がいても関係なく、A男が嫉妬する。

面倒な男たちだ・・。
まずは男３人を海に渡すことを考えるといいかな。


これ、解けると結構気持ちいいです。

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こんにちは。


昼食にて。



これ、どうやって食べるのだろーか？
まぁカブリついた。

僕の事務所は２Fだけど、１Fがこのバーガー屋。
高級なバーガーですよね。うまいし、高い・・。


数学の話。
ある本に載っていた問題をずっと考えていたのだけど、
その本には解答が書いてないので、困っていた。

アレンジしているけど、こんな感じの問題。



元の問は紙と鉛筆が各人に与えられているという設定だけど、
スマホでも大差ないですよね。また、順番に数字を送るとか、
そういう方法は何も書かれていない。


前提として。
１）何の数字を入力するか、その「入力方法」を全員に説明する。
２）各自、次の人に送るものは「入力方法」に沿った数字１つだけ。
３）数字を入力する際、嘘はつかない。計算ミスもないとする。
４）Lineで届いた数字は、受け取った人しか見ることができない。

平均は、４人の月収の和を４で割ればわかるので、１巡したときに
４人の月収の和がわかるようにすればいい。
しかし、ユキが自分の月収をヒロシに送ってしまうと、ヒロシにバレてしまう。
なので、そのまま月収を明かすわけにはいかない。
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こんにちは。


私が運営するけん玉クラブで毎年おこなっている、けん玉大会の様子。



選手の間で１対1の対戦を何回もおこない、勝ち星の数を競うというもの。
成功・失敗やどちらが勝ったのかは、手前に置いたジャッジプレートでわかる。
なので試合がスムーズに運び、多く対戦できます。
また、１勝ごとにキャップ１個を配るので、誰が何勝したのかもすぐわかる。

我ながら実に画期的なものを開発した、と思っている。


数学の話。
対戦相手の組み合わせでいろいろ悩んでいるときに思いついたのが
ラムゼーの定理。

このリンクは難しいです・・。
簡単な例を挙げると

６人がいて、適当に１対１の対戦を何回かした場合、
互いに対戦のあった３人がいるか、互いに対戦のない３人がいる

というもの。



例えば上図のようにAとB、C、Dとが対戦があったとする。
B、C、Dの３人に着目すると、このうちの誰かと誰かが対戦済の場合、



どの場合も赤い三角形ができるので、この三角形をもってして
「互いに対戦のあった３人」がいることがいえます。
また、B、C、Dの３人に誰も対戦が無い場合、このときはこの３人がまさに
「互いに対戦のない３人」ということになります。

対戦のあるなしで、色ちがいの線を結んでいくことを考えるとわかりやすい。
ではそれを踏まえて。



人数が１１人に増えてしまって、さらに男女も考慮が必要になったけど、
上で検証した６人の場合に帰着できます。
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こんにちは。


吾輩は猫である。名前はまだ無い。



ノラ猫が子を産み、親は消えて子猫だけ庭に住み着いた。
可愛いもんですな。何かいいネーミングないかな・・？

猫でなく、犬は合計４匹くらい飼ったけど、ペットはいつか死んでしまう。
これが何とも悲しいのでもう飼わないかな・・。

猫のパズルを１つ。



猫は、端にいれば次の日は自動的に横に来るけど、
２や３にいたら左右どちらかに移動し、これがどちらなのかわからない。

例えば１日目に１の部屋を開けた場合。
そこに猫がいればラッキーですけど、いない場合は２、３、４のどこかにいる。



そして２日目は赤い矢印のどれかを動くので、猫は全部の部屋にいる可能性があります。
１日１回１つの部屋だけ開けるルールなので、適当にやっているとずっと見つからないですね。

偶奇性、周期性、対称性に着目せよ

と言う標語があります。
いつも隣りに移動するので、部屋番号は偶数と奇数の繰り返し。また、
左右対称なので、１を開けることと、４を開けることは反転すれば同じこと。
つまり初手は１を開けるか２を開けるかにしぼってOK。

このあたりが解くカギになるかな。
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こんにちは。


久々の遠出。
中央道諏訪湖SA、ここにはスタバがあるので立ち寄った。




今日は快晴だったので、諏訪湖が見事な眺めでしたね。
このところ事務所に缶詰め状態が続いてきつかったけど、
こういう美しい景色を見ると前向きになれる。

店外に洒落たテーブルがあって、そこでしばし休憩。
ふと思いついた問を１つ。




何人のグループなのかわからないし、注文の内訳もわからないが、
指定されたペアが必ずいる、ということを示す問題。

例えば、下の図の5人の場合。



ケン（茶髪）とユキ（左）が「飲み物が異なる男女2名」となるし、
これ以外にも条件を満たす2名がいますね。

当たり前すぎて何を示せばよいのやら、と言う感じなのだけど、
スマートに証明を書くのが結構ムズい。
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こんにちは。


正月気分が抜け、いつもの慌ただしい毎日が始まった。
センター試験まであと少し、受験生は時を有効に使ってほしい。

数学をどうやって勉強すれば、できるようになるか？



数学の場合、問を解いて答え合わせ。これの繰り返しなのだけど、
そのやり方、あとのケアの部分で理解度に差がつくかと思う。

［三石流ノート活用術］
１　解答だけでなく、問もざっと書いておく。
２　見開きで１つの問が完結するように書く。
３　色を使って、思考の状況を書いておく。
４　暇さえあれば、過去のページをパラパラ見る。

１は、問を書いておかないと後で見たときわからないので。
２は、次のページに続いてしまうと読む気をなくすので。
３は、視覚で記憶させるため。４は、記憶を定着させるため。

人間の脳など忘れるようにできているので、
ではどうすれば忘れないかと言うと、毎日見ることですよね。


オリジナル数学演習ⅠⅡAB受験編の１２８番。

お茶女１９８５

ずいぶん古い入試問題。
しかし中身が深くて数学的な面白さが詰まっている問だと、個人的に思う。

大学で数学を学ぶ予定の受験生は、是非解いてみてほしい。
問の意味がわからないという人は、次の補題を先に解くといいです。



解答は、上の写真にあります。　
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こんにちは。


ＧＷの中、家族が皆そろった。
大学生の娘にこんな問を出された。



四角に言葉を入れて、「？」には絵を入れるという問題。
２文字の言葉の間に飛行機が矢印の方向に飛んでいく。
「？」は船だろーか？しかし語尾１字だけを指す意味がわからぬ。

家族皆でウンウンと悩む。
一家団欒のときですな・・。


パズルは発想やひらめきが必要で、理詰めでは解けないですね。
次の問は、一応理詰めで解ける数学の問題。



島から島へ行くのに、別の島を経由してもＯＫです。
例えば次の場合、



（ア）で、飛行機でＡからＣへは直接行けないが、Ａ⇒Ｂ⇒Ｃと行けばＯＫ。
（ア）は、飛行機だけを使ってＡ～Ｄすべてを行き来できる。
一方、（イ）は、船だけを使ってＡ～Ｄすべてを行き来できる。

赤青どんなふうであっても成り立つことを証明するのが問題です。
全パターン書き出して調べればいいけど、なるべく手間を減らしたい。
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こんにちは。


３連休、とにかく寒いですね・・。
休日につき、勉学にいそしむ。



この本で勉強中の大学生のかた、いますか？
そびえ立つ高い山と言う感じで、圧倒され、絶望する。

そんな本かと・・。



１行目は読みにくいので、「２つの正の実数a,bに対して」と読み替えるといい。
赤い不等式は、aとbの大小にかかわらず、

aに適当な自然数を掛けてやれば、bよりも大きくできる

というふうに解釈するといいです。


この本に載っている定理を１つ。


ガウス記号のことです。
見た目当たり前なのだけど、この本は当たり前でもスルーしない。
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こんにちは。

２泊３日のひとり旅、写真は山形県の片田舎。



長野⇒埼玉⇒山形経由の長旅だった。

電車が面白くて、中で整理券を取り運賃表を見て代金を箱に入れる
というまるでバスのようだった。


何かの本に載っていたちょっと珍しい問題。


たとえば全体を１０Ｌとして、次の給油所へ行くのに必要な量が
図の赤字のようだったとすると、



ＡやＤから出発するのは途中でガス欠となる。Ｂから出発するしかない。


Ａ～Ｄにどれだけガソリンがあるかも、給油所の間の距離もわからない。
しかしこれらがどうであっても、それに応じてうまく出発点を選ぶことで、
ガス欠せずに１周できる、というもの。

どう証明するのかが、かなり難ですな。

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こんにちは。


学校は夏休みに入ったようですね。
受験生には、テキストを丸ごと１冊やり遂げるという無謀な宿題を課した。
こういうのは大抵、１・２章やったところで夏休みが終わってしまう・・。



写真は「授業仕分け（仮称）」と呼ばれる宿題早見表で、この順にやっていけば、
例え全体の３割しか終わらなくても、全部の分野に手を付けたことになる。

計画を立てて実行する。
これを継続できるかということも、人の能力の１つと思う。




例えば次のように試合数を設定した場合、合計がちょうど６０になる。



連続する数の和が１０にならないように、数を振って行ったとしても、
結局どこかで１０になるところが出てしまう。。


証明は、ムズいです。

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こんにちは。

年が明けて１月はボランティアで保育園に行く。




なぜこんなことを続けているのかと言うと、好きだから、なのだろうけど、
何か１つでも心に残ってくれればいいし、これが何かに打ち込むきっかけに
なってくれればなおいい。そう思う。


円卓に座る方法というと、高校では円順列しか習わない。
こういう問はどうですか？




適当に並べていけば答は見つかるのですが、これが大人数だったら大変なことになる。

ハミルトン閉路・・・グラフ上のすべての頂点を１度ずつ通る閉じた道のこと。
一筆書きとは違って、通らない道があっても可です。

これを意識して作った。うまい図をかいて探す方法を考えてください。


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こんにちは。


正月休みが終わり、また普段の慌ただしい毎日が始まった。




今年の正月はゆっくりできたので、この本を読んでいた。
大学生の頃、とても高い山であって何度も登ろうとしたが挫折した・・。

この本を勉強されている大学生のかた、いますか？


[ｐ．４から引用]


上の文章の　　　大[あるいは小]　 　　上方[あるいは下方]
という部分は２つのことを一度に言っているもので、わざとわかりにくく書いている。
さらに意味不明の定義が続く。


[ｐ．４から引用]



解析学を勉強し始めて、まずはこの上限・下限でつまずく。←私がそうだった
数学を理解するには、「粘る」、「悩む」。これしか無いです・・。




大抵、大学の教科書は問題の解き方が載ってなく、
（答）１
としか書かれていない。数学書ほど不親切なものはない。


上の定義（１°）、（２°）を使って解くと、次のように面倒なことになる。
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こんにちは。


数学書の紹介を１つ。
１９８５年初版。なのでずいぶんと年季のある風貌ですな。




大学のときの教科書だったけど、無くしてしまったのでamazonで再度購入した。
当時、こういう数学もあるのかと興味を持った。私の専門は幾何だったけどまったく
つまらなかったので、組合せ論、というかグラフ理論を結構勉強していた。

この本、組合せ論の入門書として随分わかりやすいし、掲載の例題が身近な物なので、
興味深くて面白い。背理法と帰納法がわかる高校生なら楽しく読めると思う。


組合せ論にありがちな問を１つ。




対戦のあったチームどうしを線で結んだ図をかいて、その中に三角形ができれば、
その３つの頂点が求めたいものになる。そういう考え方で証明します。
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こんにちは。


私の主催であるサークルの夏休みの行事にて。
今年もBBQ大会をした。




企画や準備など大変だけど、子どもたちが喜んでくれれば
それでいいと思って、毎年開催している。


今日はこういうパズルを１つ。




牛肉は、自由に切り取ってはかりにのせることができるものとします。
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こんにちは。


６月、梅雨ですか。
模試の作成に追われ、息抜きの間が無い・・。



abstract algebra＝抽象的な代数学

前回からもう１年半が過ぎて少し進んだ。群に入った。
「群」というのは、こちらを参照されたし。

これを見るとやる気をなくすかもしれぬ・・。
数学の定義はいつもこういう固い表現になるもんですな。


本に載っていた問を１つ。




群の定義を満たすことを言えばいいです。

[１]　結合法則の成立
[２]　単位元の存在
[３]　逆元の存在

「元」というのはゲンと読む、集合の要素のことです。
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こんにちは。


「先生！受かった！！」

高３女子が推薦入試を合格した。
よかったね、ばんざ～～い！！と祝福しているや

「これで塾やめま～す！」

と来た。
よくないですな。推薦など要らん。


購入したが１ページも読んでない数学書。
書棚にたくさんあるけど、これもその１つ。




読まれたかた、感想ありますか？
正月に読もうと思う。

高校で「複素数平面」は数学３で習う。教科書に入ったり抜けたりの単元で、
あまり重要視していない感じに見える。

入試対策を１つ。



上の赤い条件のｘとｙは、違う数とは限らず同じ数もあり得ます。「任意」なので。
例えば、Ｓ＝｛１，２，４｝とすると，
１×２＝２、２×２＝４は要素にありますが、２×４＝８とかが無いので、ダメです。

やや特殊な問題ですな。
答えをあらかじめ決めておいて、それにこじつけた解答を作るという感じです。
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こんにちは。





塾に教育委員会の先生が視察にいらした。ぞろぞろと数名・・。
今日は４人の授業だったけど、うち男子２名が現れない。

「先生方を遠くで見かけて逃げてしまったんでしょう」

と言って爆笑だった。
案の定、先生方が帰ったあとノコノコ現れた。


知り合いの問題を１つ。
カデゴリの集合の中に、似たようなのがあるでしょう。こういう問ばかり考えている。




ある２人が知り合いであるとは、双方がともに知り合いであるとします。
向かいの２人は、知り合いであってもなくてもＯＫです。


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こんにちは。


ここ飯田市内に全国の人形劇団が集まる大掛かりなイベントが
いま行われています。




私のは人形劇ではないが、毎年１５分時間をもらってやってます。
寄る年波・・だんだんきつくなってきた感。


タイルを並べる問を考えていたところ、偶然できたのが次です。




たとえば、次のように。




この図だと、ほかにないでしょう。
ではどう証明すればよいか？若干、発想と思考力が必要かもしれない。

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