三石・数学塾

こんにちは。

東京に越してきて半年が経った。私の会社、何とか続いている・・。
毎日の生活に余裕が無く過ごしてきたけど、最近やっと落ち着いた。

ので前から行きたかった神保町という街へ出かけた。



古本屋が立ち並ぶ靖国通り沿いに、数学書が沢山置いてある店がある。

群論入門　１９６４年第１刷発行
４２０円

棚の本全部欲しいくらいだったけど、今日はこの１冊。
売値は本の裏表紙にシールが貼ってあり１４００とあった。

「群」というのは検索をかければいろいろ出てくるけど、
閉じていることが大前提で、あと次の３つを満たすことです。

１　結合法則が成り立つ　
２　単位元がある　　
３　逆元がある　　　

群の１例を、考えてみますか。




答え
（１）例　（１〇１）〇２＝２〇２＝１、１〇（１〇２）＝１〇３＝１より、OK
（２）１〇e＝１となるeは３。２〇e＝２や３〇e＝３となるeも３になる。（答）３
（３）１の逆元・・・１〇x＝３（単位元）となるxは、２　　（答）２
　　２の逆元・・・２〇x＝３（単位元）となるxは、１　　（答）１
　　３の逆元・・・３〇x＝３（単位元）となるxは、３　　（答）３


こんな感じですかね。初めてみる人は意味不明かもしれないけど、
面白いと思うか、つまらないと思うか。前者の人は少し変わった人かも・・。


本に載っていた演習問題を１つ。



昔の数学書は、だいたい演習問題の解答が載っていない。この問もそうでした。
どなたか解いてみませんか？

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こんにちは。


「互除法で解くやつ、面倒だ。ほかに手は無い？」

高校の数学Ａの中に「整数の性質」という分野があり、ここが面白い。
次は、ずい分前に記事にした問題。



こういうxとyの１次方程式を解く問題が、教科書にあります。
これを解く方法にはいろいろあって、ざっと挙げるとこのくらい。

策０）　xに１、２、３、・・・、２２を順に入れる。
策１）　ｙについて解いて、整数になる条件を使う。
策２）　式を置き換えていって係数を小さくする。
策３）　互除法の結果を使って式をつくる。
策４）　剰一術という和算の技を使う。
策５）　modを使う。
策６）　その他

策０）は、無策ですが、係数の大きい方のxに１から順に入れる方が手間が少なくて、
調べる数は、yの係数より１小さい２２までです。その間に解が必ず1つだけあるので、
根気よく調べれば２２回以内にみつかります。

策１）は係数によっては解きにくくてやりたくない。
策２）は互除法の類似品です。
策３）が教科書の解法でこちら。
こんな感じで結構わかりにくくてどうも評判が悪いです。
策４）はすごい。こちら。
しかし、意味不明ですね・・。未だにわからない。

策５）と策６）を考えてみました。
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こんにちは。


毎日暑いですね。
こちらは自作の、高３夏休み課題帳。



入試数学演習ⅠＡⅡＢ／使用上の注意
１）解けなくてもすぐに答えを見ないこと。
２）この本の解答を、毎日読書すること。
３）１つの問題を、必ず２回は解くこと。

たった２０問だけど、１問の中に多くの要素が含まれるよう問題を選んである。
冊子見本はこちら。塾は休業中。せっかく作ったのでどなたか活用ください。


数学の話。
定理や公式を証明することは、入試ではあまり出ないけど、証明をする過程の中に
結構重要な手法が隠れていることが、稀にある。



教科書を調べると、大体次のように垂線を引く。



これを見ると、三平方の定理と違うところが右辺の「－２ｃｘ」のところで、
bccosAはベクトルＡＢとＡＣの内積になることが発見できる。
また、逆にＡＨを求めたいときは、上の２行目の式をｘについて解けばいい。

問１　Aが直角や鈍角の場合も成り立つことを確かめよ。

めんどくさくなったのか、こう書いてある教科書もありますね。



これらを使って余弦定理を導くことができるというので、考えてみた。

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こんにちは。


８月に入り、ここ東京は連日の猛暑日。ただただ暑い・・。
こんな夏は避暑に長野へ帰るのがいいのだけど、長野も暑いようだ。


「身近な所で数学を使って物事を解決する、こういう問題を作ってほしい。」

という依頼が来ていて困っている。こんなものなかなか無いですよ・・。

身近な所に数学が生かせるのだから、数学を勉強する意味があるでしょ？
などと言うのは綺麗ごとであって、数学に興味を持つ生徒など増えやしない。

問題を解く中でのちょっとした考え方が、実生活のちょっとしたことに
関連しているな、と思うことはある。見えないところで役に立っている。
でも数学で一番大切なことはと言えば・・

問題を解くこと考えることが、面白い。

こう思えるかどうかですかね。
そのような問題をいま必死に作っているが・・今日は息抜きでパズルを１つ。



どのパズルの本にも大体載っている、有名なやつです。


（答）１６分かと思いきや、答えは１５分。


家から店に戻る２回をＡでやると、合計１６分ですが、
Ｂを家に置いておき、ＣＤで行ってＢで戻るというテクを使うと、１５分になります。


設定時間を変えた場合、どうなるか？
これを論理的に考えてみました。



ａ、ｂ、ｃ、ｄの時間によって、答えが変わるのかどうか？
ここからはパズルでなく、数学の問題ですね。
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こんにちは。


数学の問題を作る仕事をしている。
数学が好きで面白いと思うからやっているのだけど、簡単でなく労多いです。

「問題を作ってほしい。データの分析の・・」

この分野は高校の数学Ⅰの中に最近入り込んできて、センター試験にも
結構ページ数を割いている。作問が大変なので執筆者が少ないのだとか・・。

私だって、同じこと。



これは、作問したがボツになった図。

偏差＝値－平均
分散＝（偏差の２乗）の平均
共分散＝「（Xの偏差）・（Yの偏差）」の平均

そして、


何なのか意味がわからないが、これらは暗記するしかない。
相関係数は－１から１までの値を取ることが、教科書に載ってます。


２０１９明治大・改

教科書に載っていることをあえて証明させる。
こういう入試問題もたまにありますね。良いと思う。

この２問の証明は、実に奥が深いです。

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こんにちは。


桜はまだつぼみ。
娘に車を買ってあげた。しばらくは私が乗るのだけど。



スイッチを押せばエンジンがかかる。
衝突を感知すると、音が鳴る。

ハイテクだ。
とにかくスイッチが多すぎてわけがわからぬ・・。




東工大の入試問題。今年のはまだ解いてないけど、第１問にこれが出たようです。
調べてみると１９６１年ＩＭＯで出題されている。

実に、美しい。

解き方はいろいろあると思うけど、ネットで調べると座標を使ったり、
ヘロンの公式で結構面倒なことしていた。

シンプルに解けないものか？
これを考えてみた。

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こんにちは。


「卒業しました！」

証書と花の写真を添付したメールが来た。
色々受検したがなかなか決まらなくて、随分残り勉強をした生徒
だったけど、決まってよかった。

自分の人生おおいに楽しもう！

こう返信した。


次は新聞の朝刊に載っていたのでしょうか？



定積分をゴリゴリ計算するとxとyの式が出てきて、
それを平方完成すれば最小値がわかる。
この最小値がnの式になるはずで、あとはnを無限大に飛ばせばいい。

しかしスゴい式になりますね。嫌になってしまった・・。

（注）式の中のnは自然数だと思うけど、正の実数とみて解いた。
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こんにちは。




正月の風物詩。「どんど焼き」と呼んでいるのだけど、
調べてみると「左義長（さぎちょう）」が正式名称らしい。


数学の話。
来週はセンター試験。教え子は皆すでに推薦が決まっているが、
申し込んであるので受検するらしい。
なので今週の授業もゆるい・・。

シュワルツの不等式
これの派生ということで、塾ではアーノルドと呼んでいる次の式。



実に美しい不等式で、どの参考書にも必ず載っている。
今日は、どれだけ別解が作れるか？これを考えてみた。

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こんにちは。


今年の授業がすべて終了。
しばしお休みです。

数学のノートには問題を解いたあとの計算式しか書いてない。
そういう生徒は結構いるけど、大事なことはメモっておくべし。

これをスマホで撮っておけ、と伝えた。


大体この４つのどれかで解けると思うけど、例外もありそうですね。
次は、小問の中に埋まっていた相当な難問。


Ｈ３０　山梨大・医

条件が２次式で、求める式も２次。xyが余分にあるので１文字消去など大変だし、
＝ｋとおいてもグラフが描けない。sin、cosに置き換えもできない。

参考書とかに載っていないパターンで、ちょっと工夫が要りますね。
いろいろ考えてみたところ、４つほど解答が見つかった。
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こんにちは。


これはホワイトボードのスケッチブック版のようなもの。



黒板に板書する代わりに使おうと、買ってみた。
授業を通じて数学に対する意識や意欲を高めて欲しいと
つね思っていて、そういう授業を心がけては来た。

要は、学ぶことが楽しい、もっとできるようになりたい
こういう気持ちにさせること。

まだまだ、です・・。



ピタゴラス数はこちら。
この事実はよく知られているのだけど、自分で証明したことが無かった。
例えば、
（a、b、c）＝（３、４、５）　⇒m＝２、n＝１とすればいい。
（a、b、c）＝（５、１２、１３）　⇒m＝３、n＝２とすればいい。

しかしm＝３、n＝１とした場合、（a、b、c）＝（８、６、１０）となって、
全部偶数なので２で割ると、上の（３、４、５）と同じものになる。
m、nの取り方によっては最大公約数が１にならないことがある。

示したいことは、

最大公約数が１であるピタゴラス数のどんな組に対しても、
うまい自然数m、nをその都度見つけることによって、
ピタゴラス数をm2－n2、２mn、m2＋n2という形で表すことができる。

ということです。

（注）wikipediaにはm－nが奇数とか、必要十分とか書いてますが、
そこまで言及しないことにします。証明が面倒なので。
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こんにちは。


暑いですね。
今日一日ダレていて能率が上がらず・・。

ちょっと息抜きに、こういう問題。



樹形図を描いていくと、



こうやって行けばいつか解けますね。
うまく解くには、どうアプローチすればよいか？

策１　方程式の解を探す
策２　漸化式を作る

策１で行けそうです。
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こんにちは。


級数とは、数列の項を無限に足していくものですが、
有名なのはこんなところです。



入試で、なかなか面倒な不等式や定積分を持ち出しておいて、
上の結果を証明させる問題が、結構出ますね。

なぜこうなるのか？

疑問や興味を持つことから学問は始まる。


次は、ある国立大の推薦入試の問題。


誤答の訳を指摘するというのは、変わった設問だ。
AやBはいいけど、Cはどうやって導いたのか？

０と１の中を取って１／２とした。

と書いたら点がもらえるのだろうか・・？

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こんにちは。


「最強の頭脳日本一決定戦！頭脳王」
先週(金)のTV番組です。

回答者は東大京大の優秀な学生たち。




答　２６４．５ｃｍ２
回答者が一瞬で答えてしまったのだけど、なぜわかったのか？



こういうふうに並べ替えてみれば、全体の半分になりますね。
これをすぐに見抜けたのだろーか？
そう考えているうちに次の問になってしまった・・。

解き方の解説が何もなかったし、ゲストの芸能人も「すごいすごい」と
言うだけで、何とも視聴者置いてきぼりの感・・。


最終問題。



なかなかスケールの大きい問題。
条件をいろいろ出してくれないと解けないなと思ったら、次の注釈が一瞬だけ提示された。



解いてみようと思ったが、画面がすぐに消えてしまった。
なのでネットで拾ったのだけど、要約すると、

身長１７０cmの人が１００ｍ先に６０デシベルの声を届ける。
では、１１０５９．２ｋｍ先に６０デシベルの声を届ける人の身長は？
ただし声の大きさは、身長の３乗に比例し、距離の２乗に反比例する。
物理的な現象は一切無視する。

デシベルと言う単位は常用対数で表されるはずだけど、どうやら考えなくても
いいみたいだし、空気抵抗とかその他の影響は全部無視していいという。

だとすると、難しそうに見えるが実は、ただの比例・反比例の問題になる。
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こんにちは。

今年度の授業がすべて終わった。

数学に興味や疑問を持って欲しい
努力を続ける根気を持って欲しい
困難を乗り越える勇気を持って欲しい

これらを伝えてきたけど、毎回の事、反省や課題は多いですね。
より良い授業を目指す努力をせねば・・と毎年の事、思う。


ところで、こういう本を買った。



昭和４年初版の復刻版とのことで、今から９０年近く前のもの。中身は
現代の高校数学の中の代数や幾何の分野だけ拾ってある感じです。
微積やベクトルは無い。

解説文にユーモアがあって、これほど面白いとは予想外だった。
１章整式の中の１問を解いてみますか。



こういう面倒な式の計算問題がかなりあった。

置き換えて運算するよりない。手数のかかる問である

と書かれている。高１生くらいなら、根気があれば解ける問です。
やってみると、気持ちの良いほど綺麗な結果になります。
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こんにちは。


高２生「三角関数」の授業にて。

加法定理
　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
　sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

これが一般角で成り立つことを証明するのは結構難しい。
以前東大の入試で出ましたね。こちら。

学校の授業でこういう図を描いて証明したよと、生徒が言ってきた。
確かこんな図だったと思う。



なかなかめんどい・・。
検索してみると、証明法いろいろ出てきますね。



このシンプルな図で、導けるかどうか・・？
これを考えてみた。

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こんにちは。


家で受験勉強を、どのようにやればいいのか？
うまいやり方とか、誰も教えてくれないですよね。



数学の場合、

１）知識を定着させるには？
２）思考力を向上させるには？

この２つが永遠のテーマかもしれない。
１）昨日のノートを今日も見ること！
２）解けなくてもすぐに答えを見ないこと！

こう生徒に言っているけど・・２）は、
考えるだけ無駄だから、直ぐに答え見て暗記した方がいい
というセンセもいる。

赤チャート数１A使用の生徒からの質問。
「２次関数」の演習問題３４



この問を２次関数のジャンルに入れるのはちとキツいですね。
条件付き２変数の最大・最小の問題の解き方は、大体次の通り。

１）１文字を消して、１変数の関数にする。
２）求める式を＝kとおいて、kの範囲を出す。
３）sin、cosで置き換える。
４）相加相乗、シュワルツなどを使う。
５）その他


チャートの答えは２）だったけど、５）で行きます。



こういう式変形ができるとすれば、
（定数）と書いた部分が最大値または最小値の候補になる
という論法です。
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こんにちは。

中学校に頼まれて、夏期講習に行った。



ここは私の母校なのだけど、何年か前に建て替えられて
当時の面影など全くなかった。

まぁでも、何となく思い出したりして一人で懐かしがっていた。

夏期講習と言っても中身は自習で、質問に答える形式。
２年生は連立方程式を解いていた。



一人の生徒は（１）を解くのに手が止まっていた。
別の生徒は（２）を頑張って解いていた。＝３７の式を２つ作って加減法でｙを消して、

３７ｘ＝２６９

となり、

「割り切れない・・・」

計算を間違えたようですね。

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こんにちは。

暑いですね。
教室にはエアコンなど無く、ぬるい空気が漂っている。

いつも授業は脱線するのだけど、今日もそうだった・・。



私の名の定理というのはウソだけど・・
こういう問題を生徒に考えてもらった。



すぐに正解を出した子もいたけど、いろいろやって結局小さい数になった子もいた。

大きいものどうし掛けた方が得でしょ

こういう感覚が見える子は賢いですね。


２，９，７，１，３と言う数は別な数でも答えは同じで、これをa,b,c,d,eとして解答します。
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こんにちは。


「高考」というのは中国の大学入試のようで、日本で言うセンター試験に当たるものらしい。
受験者数が日本の比では無いし、受験生は大変なのだというニュースを今朝やっていた。

数学はどんな問題が出ているのか調べてみたところ、それらしいものがヒットした。
単問形式で、解答が選択式のもの、答を記入するものもあれば、証明問題もあった。

いくつか見てみますか。
翻訳ソフトがあまりあてにならず、何となく訳してます。

これは指数対数の問題。


次はベクトルの問題。


全部で２０数問ほどあるうちの、これらは真ん中の１１～１２番くらいの問だった。
どちらもチャート２Bに載ってそうで簡単そうに見えるけど、すぐには解けないです。


6／10追記。

不等式の証明。


日本では数学Ⅲの「式と曲線」の分野の問題。



単問なので小粒感があるけど、これらを１０分程度で解くのは簡単でないです。

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こんにちは。

新学期の授業が始まった。相変わらずうるさいクラスだ・・。



「解の公式」には２つあって、両方覚えて使い分けるのが普通の高校生だけど、
学校でビーダッシを教えていないし、生徒が２つ覚えることを嫌がるという、
テータラクぶり。

３つ目のUWというのはウラワザと読むのだけど、ビーダッシを使う代わりに、
２で割っておいてノーマル形にぶち込む手法。一旦分数になるけどあとで約分されて、
ビーダッシと同じ答が出てくる。これを説明したが、反応は微妙だった・・。

ルートの中を小さくしてから約分するという作業が、すごく面倒だ！！

こういう感情がまだ生徒の中に無いので、ビーダッシを覚えようとしない。
もっとたくさん方程式を解かせる必要がありますね。

２次方程式の解の問を１つ。




次は誤答例です。



３つの答えのうち、はじめの２つは正解だけど、３つ目はおかしい。
実際に２次方程式を作ってみると、x＝1も解になってしまうので。

なぜこうなってしまうのか・・？
こういう疑問を抱くことも学力向上に役立つものと思う。
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