三石・数学塾

こんにちは。


引き続きJMOです。



図形の問題。これは激ムズだった。



線分DFは四角形の内部の線なので、なかなか求めにくい。
三角DFCとDAEが相似なのはすぐ見えるけど、どちらの辺も
長さが１つもわからないのだから困る。

線を足してみますか。



これで何とか行けるか？と思ったけど、手掛かりがつかめない。
それどころか、余計難しくなっている。


では、これならどうか？



黄色の三角形が三角DGCと相似なことと、二等分線の比が使えるので、
図のｘが求められそうだ。

どうやらこれが突破口ですね。
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こんにちは。


引き続きJMOです。



1から2024までの関数の値か・・これは大変だなと言う感。
こういう問はとりあえず０とか１を代入して小さい値を求めます。



この結果、f(0)とf(1)が決まりそうだ。

あとは、mとnの一方を残した等式を作って、
そこから規則が見つかればラッキー。と言う感じでやります。
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こんにちは。


引き続きJMOです。



どうやって解くか？

・元の式を平方完成しようと試みる
・元の式を ＝M^2 とおいて、式変形する
・aに１、２、３を入れて解の規則を調べる

こういうのではうまく行かないですね。そんなに甘くない。
元の式にpの項が無いこと、定数項が１であること、
これがすごいヒントであって、



このように決めつけていいかどうかは後で考えるとして、
ひとまずこれが突破口になる。
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こんにちは。


毎日、北風が冷たい。
引き続きJMOです。




図を描くとこうなる。



２つの円が接すると書いてあり、これらの円が点Eで交わるのだから、
この点Eで外接するはずです。

図形の問で最初に調べることといえば、このあたり。

１　等しい辺や角に印をつける
２　合同な三角形はあるか？
３　相似な三角形はあるか？
４　平行線はあるか？
５　二等分線はあるか？
６　内接四角形はあるか？

上の図では、ABとCFが平行に見えるけどたぶん違う。
でも何となく△ABEと△CFEが相似になりそうですね。
あと、２円が接するときの策としては、

共通接線を引いてみる

これもやってみると何か手掛かりがつかめるかもしれない。
実際、やってみたら効果大だった。
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こんにちは。


本日届いた。




バンドを結成してデビューを夢見ていた若い頃もあったけど、ヘタ過ぎた。
当時のメンバーから練習を再開しないかと年賀状が来て、それで購入となった。

送られてきた譜面の先頭には、こう書かれてある。



うう・・いきなりムズい。
自主練をせねば・・。



引き続きJMOです。



左辺は見づらいけど、１０個のガウス記号による整数値の積です。
右辺を分数で書いて順番を直すと、こうなる。



ずいぶん特徴のある形になった。両辺の左から順番に等しくなればいいんでは？
そんなので解けるかどうかわからぬが、まずはそう解釈するのが第一歩です。
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こんにちは。


大学入学共通テスト、行われたようです。
数学は今日ですか。問がUPされ次第解いてみます。

引き続きJMOです。




これを解く場合、まずはこういう図を描くでしょうね。




黒石の最小数を求めるので、白石をなるべく多くすることを考えて、
下から計算するといいです。

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こんにちは。


方べきの定理



右の等式は、左の図のCとDが一致したと考えれば納得が行く。

数学の公式というものはただ暗記するだけでなくて、
こういう形ならこの定理が使える
というパターンをいろいろ知っておくことが大事で、
これが思考の幅を広げる効果につながる。と思う。




図を見て、「方べきだな～」と思える人はなかなか。
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こんにちは。


外は、今日も風が冷たい。

毎年この時期に行われているようです、この予選会。
高校生以下が参加でき、一応高校までの知識で解けるとのこと。
しかし実際はかなりムズい。

数学の問が解けないとき、どうするか？



このあたりですかね。
今年も解けた問のみUPします。




最初はそれほど難ではないです。
２番は、端から探せば２個くらいすぐに見つかる。
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こんにちは。


東京に越して１０か月ほど経った。
必死に会社を経営してきたけど、儲からないですね・・。

まだまだ甘いか。もっと努力せねば。


都内、うまい珈琲店を探し歩いて半年が過ぎた。
最近見つけたのは神保町。地下にある薄暗く古風な感じで、
テーブルはガタガタするし、暗いので数学の問も解きづらい。



コーヒー通がうなるブレンド。

ネットにこう書かれてあったけど、ほんとにうなった。
薄暗く古風なのも、慣れると落ち着く。
おかげで次の問がやっと解けたところ。



ネットに解答が落ちているかと探したけど、無いですね。
勝手に関数をつくり、ｍ、ｎに適当な数を入れて調べます。



初めこれが答えかなと思ったけど、そう甘くないです。

どういう風に６の６乗を調べて、どうやって最小を見つけるのか？
理詰めでは解けないですね。なので、小さい方から順に調べることにしました。

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こんにちは。


東京で久々家族皆そろったので、マンションから近い
深大寺（ジンダイジ）というお寺に行きました。

観光スポットのようで、賑やかだった。



このように、お参りするにも長い列に並んだ。
出店が並ぶ中に陶芸の店があって、絵を描くと焼いてくれる
というので、お皿に絵を描いた。




センス無いねぇ


と皆が言う・・。



JMOはなかなか進まない。
解けた問からUPしていきます。




これは中学の幾何で解ける問題。
斜線の三角形をそのまま考えるのでなく、うまく図形をずらして
求めやすいものに置き換える感じです。その前に合同な三角形とか、
図の中に隠れた性質を見つける必要があって、そこがムズい。
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こんにちは。


私が運営する某スポーツクラブの新年会。



ずっと続けてきて今年で１５年目になるかな。
いろんな人の協力のおかげなのだろうけど、
大半は私の努力かな。そう言いたいところです。

根気　　勇気

が大事だよと言ってきたけど、何をするにも当てはまるかと思う。
これが自然に持てるような人になってほしい、とつね思う。


毎年この時期に行われるJMO予選。
じっくり考えたいのだけど本業が忙しい・・。




どちらも端から書き出していけば、やがて解が出ますね。
あまり面白くないです。

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こんにちは。


今年で終了となるセンター試験は明後日。
数学は計算力重視で時間攻めという試験で、つまらなかった。
共通テストに代われば面白くなるかなと期待していたのだけど、
試行テストを見た限り、（こちら）
暗雲立ち込めるという感・・。


毎年この時期に行われるJMO予選。
面白い問が出てます。解けそうなもののみ解いてみますか。



問１
７の倍数の見つけ方は知らないので、さてどうしますか？
位を別々にして７で割って余りを集める、という感じです。

問２
△EFHの底辺をEFとするか、HEとするか？
いくつか解き方がありそうです。
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こんにちは。


センター試験が終わりました。
ゆうべ時間を測って解いてみたのだけど、いくつかミスったし、
数１Aなんか時間オーバーだった・・。

数１A 第４問の整数問題は、
49 x－23 y＝1
これの整数解を求める問から始まるのだけど、
教科書通り「ユークリッドの互除法」を使うのは手間かかりますね。

49x ≡ 1 (mod23)
これを解く方法を是非習得すべき。


引き続きＪＭＯ予選。
ちょうど整数解の問でした。



類題が青チャートにもありますね。
97x＋32＝100y＋33＝103z＋34
これを解けばいい。

しかし係数が大きくて大変なので、先ほど言った合同式を使うのがいいです。
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こんにちは。


正五角形の内角や対角線の性質は、次のようになる。



あまり入試で見かけないけど、知識として知っておくといいです。


引き続きＪＭＯ予選。
第４問は中学の幾何の問題。



うまい補助線を引いて、相似比に持ち込む感じです。
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こんにちは。


引き続きＪＭＯ予選。
第３問はパズルのように見えて、実は厄介な場合の数の計算。



ＯＫな並べ方を書き出すと、例えば次のよう。



両端の数１と９がどこに来るのか？
まずはこれを調べてみたところ、アのように両方カドに来る場合と、
イのように片方が中に入る場合がある。

なのでその基準で場合分けですね。
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こんにちは。


毎年この時期に行われるＪＭＯ予選。
今年も解けた問のみＵＰしようと思います。



３１が素数なので、左辺を因数分解すればｘがすぐ出ますね。




パズルのような問題。
１桁の素数は２、３、５、７だから、百の位と一の位を決めてしまえば、
あとは１つずつ調べて行けばいい。それほど大変ではないです。
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こんにちは。


今年もあと半月か・・早いもんだなと毎年言っている。

引き続き、この試験の最終問題です。
見た目シンプルなものほど難しい。



n＝３を入れればこれが解の１つとわかるけど、これ以外にあるかどうか？
何となくなさそうだ・・と思えるのだけど、それを示すのが簡単でない。



有理数になるのは√の中が２乗になることで、それには上のa、bの２タイプがある。
bのように、分母分子が平方数でなくても、約分されて平方数になることもあり得る。

なので、問題の式の分数がどんな数で約分できるのか？
これを調べてみた。


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こんにちは。


引き続き、この試験。
興味深い問が揃ってますね。次の問３が最も面白い。



まず具体例を書いてみて、様子を掴むしかないですね。
色のついた部分がX、Y、Ｚになります。



小さく見積もってＸ＋Ｙ＋Ｚ＝１になるよう数を入れて行っても、
和は８／３＝２．６６・・を越えてしまいますね。

どこかを小さくすれば別のところを大きくしないと１以上にならない。
制約がありすぎるので、適当にやれば背理法で示せそうだ・・。

そういう感触なのだけど、ではどう矛盾に持ち込むか・・
このあたりの試行錯誤がなかなか楽しい問い。

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こんにちは。


１２月に入り、センター試験までひと月とちょっとですね。
入学試験の結果で、これからの人生が大きく変わってしまう。

嫌なもんですね。でも、やるしかないでしょう。

ところで、
いろいろ考えたがどうしても解けず、行き詰ってしまった・・。
こういうときどうするか？



私はこれですね。
４番なんか酷いけど、解けなくて白紙よりはマシでしょう。

引き続き、この試験。



解法の糸口がまったく掴めない問ですね。
まずは三角形、五角形とかで試してみるのがいいです。



この５文字の連立方程式を解くと、結構大変なのだけど解がみな２になる。なので、
２０１９角形でも同じ結果になりそうだけど、２０１９文字の連立を解くわけにもいかないし・・。

何かうまい手が必要ですな。
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こんにちは。


中３生対象の体験教室をしました。
来年塾に入ってもらうよう、いわゆる宣伝のための授業です。



数学を学ぶ意義／数学の勉強の仕方／三石の定理。この３本。
授業後アンケートに答えてもらうのだけど、数学の感想はというと、

・とてもおもしろくてためになる授業でした。
・つまんないと思っていた数学が楽しかったです。
・三石の定理は、とても役に立つと思いました。

嬉しいこと書いてくれてました。おせじでしょうね。
少しでも数学に興味を持ってもらえると、いいです。


ところで、毎年この時期に行われるこういう試験。
面白そうな問が並んでますね。今年も考えてみた。





こういう幾何の問題は、理詰めでは解けないので困るのだけど、

∠ＡＩＯ＝９０° ⇔　Ｉ が弦の中点になる

とか、同値な条件にすり替えていくのが、1つの考え方ですね。
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