円と直線の交点の座標は？

こんにちは。


お盆のさなか、今日は久々のオフです。

数学の話。
円と直線の交点の座標を求めるとき、例えば次。



これは次のように結構面倒な計算になる。




他に手がないかどうか、考えてみました。




円を①、直線を②として、次の順。

Step1　②をxかyについて解いて、それを①に代入
Step2　２次方程式を作って解の公式にぶち込む。
Step3　求めた値を②に代入し、もう一方を出す。


この問は係数が文字なので相当大変だけど、
受験生は１回は解いてみると何か得るものがあるかと思う。

しかし今日はこれではない解法で。

③を作ることで２次方程式を解かなくてもよくなって、
計算の手間は少しは減ったと思う。
この③は何を表すかというと、図の赤い直線になりますね。



結局、円と直線の交点を求める代わりに、垂直な２直線の交点を
２か所求めていることになります。恒等式を持ち出して作った式が
そういう直線を表すとは、面白い結果が出た感。

また明日。