ラムゼーの定理とは？

こんにちは。


私が運営するけん玉クラブで毎年おこなっている、けん玉大会の様子。



選手の間で１対1の対戦を何回もおこない、勝ち星の数を競うというもの。
成功・失敗やどちらが勝ったのかは、手前に置いたジャッジプレートでわかる。
なので試合がスムーズに運び、多く対戦できます。
また、１勝ごとにキャップ１個を配るので、誰が何勝したのかもすぐわかる。

我ながら実に画期的なものを開発した、と思っている。


数学の話。
対戦相手の組み合わせでいろいろ悩んでいるときに思いついたのが
ラムゼーの定理。

このリンクは難しいです・・。
簡単な例を挙げると

６人がいて、適当に１対１の対戦を何回かした場合、
互いに対戦のあった３人がいるか、互いに対戦のない３人がいる

というもの。



例えば上図のようにAとB、C、Dとが対戦があったとする。
B、C、Dの３人に着目すると、このうちの誰かと誰かが対戦済の場合、



どの場合も赤い三角形ができるので、この三角形をもってして
「互いに対戦のあった３人」がいることがいえます。
また、B、C、Dの３人に誰も対戦が無い場合、このときはこの３人がまさに
「互いに対戦のない３人」ということになります。

対戦のあるなしで、色ちがいの線を結んでいくことを考えるとわかりやすい。
ではそれを踏まえて。



人数が１１人に増えてしまって、さらに男女も考慮が必要になったけど、
上で検証した６人の場合に帰着できます。

こんなとこですかね。
グラフ理論という学問があって、大学生のとき講義を受けたけど、
代数や解析とは全く異なるものだったかな。

また明日。