注文数の期待値は？

こんにちは。

ゆうべのＴＶ番組。たしかタカトシが出てました。

居酒屋にある全メニューの中から、人気ベスト１０の１０品を当てるというもので、
人気のありそうなものを順番にオーダーしていきます。料理が出たところで、

「これは・・第●位！！！」

と発表されます。ベスト１０の１０品が出るまで続けます。
出てきた料理が何位であっても、その料理は完食しなくてはいけない。
なかなか当たらなくて夜が明けてしまったという、大変なゲームでした。


しかし全メニューおよそ１００品のうち、３０品くらいのオーダーでゲームが終了しています。

これはどうなのか？
考えてみました。





求めるものはオーダーの品数の期待値。つまり、オーダー数の平均です。
オーダー数は最短で１０回、最長で１００回あります。なので期待値は、

１０回×（１０回で終わる確率）
１１回×（１１回で終わる確率）
１２回×（１２回で終わる確率）
・・・・・・・・
１００回×（１００回で終わる確率）

を全部足したものになります。
これは、困ってしまった・・。

パソコンに計算してもらったところ、

およそ９２回

と出ました。


計算式が間違っているかもしれない。
また後日、確かめて発表します。

つづく。