2019年04月29日
整式。
こんにちは。
GWのさなかですね。
今月から東京暮らしとなって、新居に慣れないこと、
生活に不自由なこと、多々ありますね。
徐々に慣れていくしか、ないか・・。
我が家の池、水漏れが起こりいま修理中。
金魚が、鳥かケモノに食べられるという事件が起きていて、
なので鉄格子でも付けようか、と思案中。
数学の話。
整式
高校１年のはじめに習う言葉で、教科書には、
単項式と多項式を合わせて整式という、と書かれています。
数、文字、数や文字の積、これら単体か、和の形の式のことです。
整式の問を１つ。
P(1)というのは、整式P(x)のxに1を代入して計算した結果のこと。例えば
これらは皆P(1)＝6となっているが、P(7)＝360にはならない。
P(x)の次数がわからない上に、条件が２つしかないので、普通は式が決まらない。
しかし与えられた条件が作為的なので、何とか求まる。
GWのさなかですね。
今月から東京暮らしとなって、新居に慣れないこと、
生活に不自由なこと、多々ありますね。
徐々に慣れていくしか、ないか・・。
我が家の池、水漏れが起こりいま修理中。
金魚が、鳥かケモノに食べられるという事件が起きていて、
なので鉄格子でも付けようか、と思案中。
数学の話。
整式
高校１年のはじめに習う言葉で、教科書には、
単項式と多項式を合わせて整式という、と書かれています。
数、文字、数や文字の積、これら単体か、和の形の式のことです。
整式の問を１つ。
P(1)というのは、整式P(x)のxに1を代入して計算した結果のこと。例えば
これらは皆P(1)＝6となっているが、P(7)＝360にはならない。
P(x)の次数がわからない上に、条件が２つしかないので、普通は式が決まらない。
しかし与えられた条件が作為的なので、何とか求まる。
この問題、答えがこれ以外には無いのかどうか？
心配なのだけど、多分ないと思う。
よいGWを。
また明日。
Posted by task at 12:20│Comments(3)
│整数
この記事へのコメント
ご無沙汰しています。
コメントはしなかったものの、ブログは更新がある度に拝読しておりました。
長野から東京と、環境が変わり色々と大変でしょうが、どうかご自愛ください。
この問題、自分は以下のように解きました。冗長なうえに、本質的にはお示しの解答と違いないですが……7進法に変換するのは思いつかなかったですね。流石です。
（解）
7^3=343 < P(7)=360 < 7^4=2401 であるから、仮定よりP(x)は高々3次である。
P(x) = ax^3 +bx^2 +cx +dとすると（ただし、a,b,c,dはいずれも0以上の整数 …★）
P(1)=6, P(7)=360より
a +b +c +d = 6 …①
343a +49b +7c +d = 360 …②
ここで、a≧2のとき★より②の左辺は360を超え、a=0のとき★と①より②の左辺は49×6=294以下であるので、a=1である。
a=1を①②に代入して整理すると
b +c +d = 5 …①'
49b +7c +d = 17 …②'
★より、b≧1のとき②'の左辺は17を超えるので、b=0である。
b=0を①',②'に代入して整理すると
c +d = 5
7c +d = 17
これらを連立して解くと、c=2, d=3
以上より、P(x) = x^3 +2x +3 …（答）
コメントはしなかったものの、ブログは更新がある度に拝読しておりました。
長野から東京と、環境が変わり色々と大変でしょうが、どうかご自愛ください。
この問題、自分は以下のように解きました。冗長なうえに、本質的にはお示しの解答と違いないですが……7進法に変換するのは思いつかなかったですね。流石です。
（解）
7^3=343 < P(7)=360 < 7^4=2401 であるから、仮定よりP(x)は高々3次である。
P(x) = ax^3 +bx^2 +cx +dとすると（ただし、a,b,c,dはいずれも0以上の整数 …★）
P(1)=6, P(7)=360より
a +b +c +d = 6 …①
343a +49b +7c +d = 360 …②
ここで、a≧2のとき★より②の左辺は360を超え、a=0のとき★と①より②の左辺は49×6=294以下であるので、a=1である。
a=1を①②に代入して整理すると
b +c +d = 5 …①'
49b +7c +d = 17 …②'
★より、b≧1のとき②'の左辺は17を超えるので、b=0である。
b=0を①',②'に代入して整理すると
c +d = 5
7c +d = 17
これらを連立して解くと、c=2, d=3
以上より、P(x) = x^3 +2x +3 …（答）
Posted by HAMAH at 2019年04月29日 15:39
HAMAHさん
コメントありがとうございます。
ぼちぼち更新していきます、よろしく。
コメントありがとうございます。
ぼちぼち更新していきます、よろしく。
Posted by task at 2019年05月01日 00:51
上の方法を正当化できる気がします。
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
として、P(7)を7で割るとdがでてくる
mod 7で見て3よりd=3 mod 7
0以上6以下より3に等しい
P(7)-3をmod 7^2で見て14より、同様にb=2
...というように繰り返せば良いです。
a, b, c, dがmod 7の剰余類になっていることが効きますね
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
として、P(7)を7で割るとdがでてくる
mod 7で見て3よりd=3 mod 7
0以上6以下より3に等しい
P(7)-3をmod 7^2で見て14より、同様にb=2
...というように繰り返せば良いです。
a, b, c, dがmod 7の剰余類になっていることが効きますね
Posted by 梨 at 2019年10月11日 00:48
