三石・数学塾

こんにちは。


東大理系第５問。
あと残り２問ですか。解答作るの結構しんどい・・。



２つの放物線の共通接線を求めるだけで、ただの計算問題ですね。
これが東大の問題なのか・・？と疑ってしまう。

条件式の作り方は２通りあって、

策１　２次方程式の判別式＝０という式を、２つ作る。
策２　接点を文字でおいて、接線が一致することを式にする。

どちらでも解けるけど、策２は文字が増えるので普通に策１で行くべし。
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こんにちは。


東大理系第４問。
数列と整数問題の融合。この手の問は毎年骨が折れるのですが・・。



問題を読んだあと、すぐに解法が見えてしまった。
今年はどうしたんでしょうね・・易しすぎるのではないか？

（３）は帰納法のうち、２つセットにして仮定するタイプのもの。
（４）は答が２と予測できるので、（３）に続いて帰納法でも何とかなる。
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こんにちは。


東大理系第３問。
複素数平面は、数Ⅲ新課程で最近復活した。
去年も出題されているので、どうやら今後毎年１問出そうだ。
しかし入試問題自体が少ないので対策が立てにくいですね・・。



zが動くときのwの軌跡の問題。
（１）の方針として、（点ｚをP、点αをAとする）

策１　OAの中点をMとして、OA⊥PMを式で表す。
策２　Pは２点O、Aから等しい距離にある⇔OP＝AP

策２が全く盲点となって、策１で頑張って解いた人いますか？
私がそうだった。一応解は出るけど遠回りな策ですね。
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こんにちは。


引き続き、東大理系。
あちこちで「易化」と出てますね。合格ラインが高そうです。

第２問は例年やや複雑な確率の問題。今年もそれだった。



２問とも６秒後なので、n秒後という一般式は必要無いですが、
全部の場合を調べるのも大変で、簡単でないです。

策１　確率の積を作る（反復試行の確率）
策２　全体の何通りかで分数を作る（道順の個数）

大きく分けてこの２つの手がありますね。

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こんにちは。


国公立大の２次試験が始まりました。
早速、東大から解いていきますか。

予備校サイトには理系も文系も「易化」と書かれていましたが、どうか・・。




設問の通りに解いていけばいい。特に考えることは無いです。
（１）で「整式で表せ」と親切に書いてあるので、ｇ（θ）の分数式は約分できるはず。
なので、ｇ（θ）はxの２次関数となって（２）は数Ⅰの問題だな、と読めれば訳ない。
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こんにちは。


ネットに上がっている中学入試の問を解いているのだけど、どれも難しいですね。
図形の問は特に。ほとんど中学レベルではないか？と思えるものが多々ある。
入試とは人を落とすための検査なのだから、簡単には解けない問を出す必要がある。
なので仕方ないのだけど、このあたりが中学入試の厳しいとこですね。

図形の面積を求める問を３問、拾ってきました。



問題１　慶応義塾中等部
高さが等しい三角形では、面積の比＝底辺の比
を使う。厳密には中２で習うことですが、小６生でも解けないことはない。

問題２　洛星中
影のついた部分は、見づらいけど中央の正方形です。
この正方形の１辺は√を使った数になってしまう。√は中３で習うのでNG。
なので何かうまい方法が必要なのだけど、どう解けばいいのだろ・・。

問題３　東大寺学園中
時間内に解ける小６生がいるのでしょうか？これは難問だ。たぶん、図を分割して
うまく組み合わせ、結局扇形の面積と同じ、というオチかな・・。



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こんにちは。

中学入試。
若い頃東京で、中学受験をするという小６生を教えていた時期があった。
入試問題は、教科書には載ってない、特別な訓練が必要なものが多かった。
中学の連立方程式を使って解くような問題は平気で出題されるのだけど、
お受験の子たちは、これを面積図や天秤とかをうまく使って一瞬にして解く。

訓練すれば皆できるようになるか、と言えばそうでなく、柔軟な発想というか
頭の柔らかさもある程度必要になる。頭の固い私にはきつい仕事だった・・。


兵庫県にある灘中学校。入試問題はこちら。
算数は２日間おこなわれ、１日目は全１２問／６０分。何問か解いてみますか。



男子と女子２つのものがわからない、連立方程式のタイプ。
こういう文章題は小学校の教科書には無いので、普通の小学生は解けないですね。
「つるかめ算」「過不足算」という特殊な解法を習っていて、これを使って解くようです。




４の倍数のうち、カンで８６４とか当てはめて探せば、２個くらいそのうち見つかる。
理詰めで解くにはいくつか発想が要りますね。工夫があって問題として面白いのだけど、
中学・高校で数学を学ぶのに全く不要な問題だと思う。




パズルのようで、思考力を試す良問かと思う。８１になる曜日をどうやって特定させるか？
ここの考え方はいろいろありそうだ。しかし後半は「積の法則」を知らないと解くのは困難。
高校数学Aのレベルの問だと思う。
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こんにちは。


私立大の入試が始まったようですね。
予備校サイトに早くUPされないかなと、心待ちにしている。

三角比やベクトルの問題で、正四面体が与えられるときがあるけど、
次のことを何となく形で覚えておくと便利です。



問題文に１辺の長さが４とかになっていると、他の長さが分数になるので、
そういうときは計算がしにくい。AMを３にして考えて後で直す方がいいと思う。

また、三角比の問題でよく出る三角形がある。



名古屋で花見、七五三

こう覚えておくといいです。


次は理系の２９番。



Qの位置が定まっていないという設定と、定めたあとの解答方針の選定。
この２つが合わさって問題を複雑にしている。韓国レベル高い・・。

３つベクトルを設定して「垂直⇔内積０」を使う解法が一般的だけど、
めんどくさいですね。なのでベクトルを使わない方法で解いた。
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こんにちは。

大学修学能力試験。
대학수학능력시험
これを解くため韓国語を勉強している・・。
数学は
수학
と書くようです。

文字が独特で覚えるのが大変だなと思うけど、日本語だって同じこと。
日本語をマスターした外国人の人は、皆努力家だと思う。

去年１１月の試験を全問解き終わった。
次は理系３０問の中の２問。



選択肢をうまいこと使って知識や思考力を見る問にしてある。よくできた良問かと思う。
１８は、実際に３辺の長さを求めてもいいし、円と３つのベクトルをかいて図形的に解くことも可能。
２０は、イ「平均値の定理」、ウ「中間値の定理」に気づけば難しくないのだけど、これらの概念が
しっかり理解できてないと、解けない。

（答）問１６・・・②、問２０・・・⑤


次の問２１も微積からの出題。



定積分の中に定積分があるような式を計算せよ、とのこと。
この式をどういうふうに捉えて、計算できる形に導くか？

ノーヒントで解くのはなかなかきついですね・・。
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こんにちは。


韓国で行われるセンター試験のようなものらしいです。
数学は理系、文系２種類あって、１００分、全３０問。
単問形式なので、日本のセンター試験とは見た目全く違います。

次は文系の中の３問。
翻訳ソフトを使ったのだけど、正しいかどうか・・。



全３０問のうち、教科書レベルの問もあれば難問もあって、
上の３問が中くらいですかね。考える要素の多い良問かと思う。

（答）問１５…①、問１８…④、問２８・・・１６


次は最終問題。



「合成関数」や「逆関数」は日本では数学Ⅲで習うので、文系は範囲外ですね。
２乗の和を求めさせるのはマークシートの都合であって、実際にはmとMを求める問題。

複雑な方程式が、簡単な形に変形できないか？
直接求められない逆関数を、どう捉えればよいか？

このあたりの思考力の有無を試す問で、これは難問・・。
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こんにちは。

数１Ａ、２Ｂの両方、ゆうべ時間を計って解いてみた。

数１Ａは普通に解いて行って気付いたときは１０分オーバーだった。
なので数２Ｂは怒りの高速で解いたところ、それでも５０分かかった。
マークシート塗りつぶしの時間を加味すれば、ギリギリですね。

毎年のこと、センター数学は時間がきつい設定になっている。
もっとじっくり考えて解答できるようにしてあげればいいのにと思うが、
何か意図があるのでしょう。

計算のスピードを上げるには？
計算ミスを防ぐには？

次は数２Ｂの第３問「数列」の最終問題。



教科書にもある（等差）×（等比）の形の和を求める問題。
誘導の通りにＵ－４Ｕの計算をしようものなら、私は必ずミスをする。
等比数列の和がn個でなく１個減ってしまって初項が１つ余るので、
この処理が面倒なのと、最後に－３で割るときに符号をミスしてしまう。

こういう場合、少しやり方を変えて面倒にならない方法がある。
まず次のＳｒを求めておきます。



一番下の式を公式として覚えておくといいのだけど、覚えられなければ
上のように計算して導いてください。問のＵ－４Ｕよりは簡単にできます。
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こんにちは。


今週末はセンター試験。
数１Ａと数２Ｂ、毎年私も時間を計って解くのだけど、年々タイムオーバー気味だ。

解答方針の判断力
計算処理のスピード

これらを強化する必要がある。


次の問はセンター試験対策にちょうどよいかと。


２０１６年名古屋市立大。

前の問の結果が使えるように小問を作ってある感じです。
しかし（３）は、引き算を使うと間違いやすい。と言う私も何度もミスった・・。
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こんにちは。


年賀状には「あぶり出し」を入れてみた。
「酉」と言う字をみかんの汁で書いておき、このままだと字は見えないが、
火あぶりにすると浮き出てくる、というものです。

先ほど予備の１枚を実際に火あぶりにしてみたところ・・



うまく行ったようです。
いま、小学校で「あぶり出し」はしませんかね。面白いのに。


２０１３年大阪大文系。珍しくストレートな公式の証明。


この公式は高校数学でも重要なものの１つで、面倒な判別式を回避するための策として、
非常に有効です。受験生は皆知っている（はず）だが、これを証明できる人は少数でしょう。

＜案１＞垂線の式を求めて２直線の交点を出し、距離を実際に計算する。
＜案２＞(x0，y0)を原点に移す移動をして、そのときの距離を求め、このあと元に戻す。
＜案３＞垂線上の点をベクトルで(x，y)＝(x0，y0)＋t(a，b)とおいて、これが直線上にある
　　　　　ことからtを出し、距離| t(a，b)|を求める。


＜案１＞普通の考え方。計算が大変だけど受験生なら一度はやっておくべき。
＜案２＞教科書に載っている証明方法で、手間がかかるうえにわかりにくい。
＜案３＞すっきりしていてわかりやすい。ベクトルの応用になるのでなおよし。

これ以外にもいくつかあって、多分１０個以上証明法があると思う。
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こんにちは。


正月休み、あっという間に終わった。
「カウントダウン１００問」と言う名の、数学の問をひたすら解くことをしていて、
２０１６年大学入試問題を片っ端から解いて行った。まだ解けていない問は多々ある・・。

数学の問が解ける、というのはどういうことか？

Ａ）以前似たような問を解いたことがある。
Ｂ）知っている形にすり替えることができる。
Ｃ）解法が、突然天から降ってくる。

Ｃ）は天才の人だけ。
Ａ）、Ｂ）を強化するのが実力を上げる秘訣でしょう。

２０１６年北里大。


（１）は黄チャートや青チャートに全く同じ問がある。重複組合せの問題。
（２）も、うまくやれば重複組合せの公式が使える。
（３）はやりようがない。直接書き出すか、（２）から除外部分を考える。
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こんにちは。


発注しておいた優勝楯が届いた。



毎年恒例のけん玉大会、今年で８回目となる。
自分の趣味の１つなのだけど、なぜに自腹でこんなことするのか？

困難を乗り越えて、何かを習得する

という経験が少ない子は、やはり勉強でへこたれてしまう。
いろんなことに挑戦できるような環境を、私たち大人が作ってあげるべき。
と、つね思う。

公立高校入試、今日は愛知県。
⇒こちら

この県はＡとＢの２種類あって、両方受験できるんでしょうね。
数学は４０分間で全２０問。１問１点で２０点満点という、からい配点です。

内容は、極めてシンプルですね。さっさと解いていく感じです。
次はＢ大問２の（５）で、関数の問題。



面積を２等分するという場合、面積を求めることはまずしない。
必ず他に手があります。

台形の面積の２等分⇒上底と下底の和を調べよ！！

解けなかった人は、このキャッチコピーを赤ペンで書いておくといいです。
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こんにちは。


信州の山奥深く、毎年参りに行っている。



ここには随分前から「白い大蛇」が飼われていて、見せてもらったが
まだ生きているようだった。写真撮影ＮＧだったので残念・・。


公立高校入試、隣の岐阜県を解いてみた。
⇒こちら
長野県に比べてシンプルで取り組みやすく、出題のバランスも良い。
次は大問５の図形の問題。



（１）の結果が（２）で使え、（ア）の結果が（イ）で使えるという理想的な展開で、
良問だと思う。（イ）は気づいた人には易しいが、方針を間違えると難問になる。

平行な弦がある⇒等脚台形をつくれ！

こういうアイテム的なものをたくさん持っておくのが、問を解くコツと言えます。
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こんにちは。

年１回税金を納めに税務署に行くのだけど、混雑しますね。
私の前に２０人もいて、手続き終えるまでに２時間もかかった・・。



壁に貼ってある小学生の税金ポスター。うまいもんですね。


２０１６公立高校入試、いま解答作成の仕事をしている。
公立入試では難問はまず出ないのだけど、中にはすごいものありますね。
これは千葉県の大問１の最終問題。



「作図しなさい」と言うときは、定規１つとコンパスだけを使って描くのだけど、
定規は、長さを測ってはダメというルールがある。

線分を何等分かする方法は教科書に載っていて、２：１以外のどんな整数比でも作図が可能。
まぁ普通は次のような感じでしょうね。




しかし教育委員会が用意した模範解答は、まったく違った。
この模範解答通りに解けた人は、天才かもしれない。
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こんにちは。


長野県公立高校入試。
最終問題の問４。ここは例年「平面図形」に絞って出題されるが、
今年は立体と平面の２問だった。



これは易しい。確実に正解しておきたいです。
Ⅱとして、あと５問ある。
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こんにちは。


長野県公立高校入試。
問３は例年「関数」を題材にした問が出題されるけど、毎年模様が全く違う。

Ｈ２５　２点が動くときの三角形の面積
Ｈ２６　３人が走ったときの時間と距離
Ｈ２７　水槽に水を入れたときの時間と量

今年は超大作。
とにかく文章が長いので、国語力が試される問だった。



文部科学省の学力調査というのが中３の４月にあって、（３）はそれを真似した感じの問だ。
こういう考え方を書かせる問が今年は多い。今後こういう傾向になるのか・・。

（３）の、県で用意された正答を見るとこうだった。

２つのプランを表すグラフで、x＝１３５のときの対応するyの値を比較する。

まただ・・。こんな説明でいいのか？
計算せずに判断する方法を問うているのだから、yの値をどのように比較するのか、
これを書かなくては意味が無い。


後半も、１次関数だけの世界観で押し通していて、うんざりだった。
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こんにちは。

長野県公立高校入試。
大問４つあるうちの２問目。中に３つの問があって、文章量が無駄に多い。

（１）連立方程式
（２）資料の活用
（３）関数y＝ax^2



規則性を見抜いてそれを文字式で表す、ということができないと、
③は解けないです。案外正答率は低いと思う。


続いて（２）です。



「速そう」　これ違和感あるけど正しい日本語なのですか？
②の説明はどこまで記述するのだろ？県で用意された正答は次の通り。

速い方から４人が含まれる階級は、２組が６．６秒以上７．０秒未満の階級であるのに対し
１組は７．０秒以上７．４秒未満の階級であるため、４人の記録の合計は２組の方が速い。

なんだ・・こんなんでいいのか？
こんなものは数学ではない。


最後の（３）。
とにかく文章が長くて嫌になる。
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