三石・数学塾

こんにちは。

数学Ⅲの原稿を書いているのだけど、「極座標」のところやりにくい。
今１つ実用性が伝わりにくいところだ・・。

「正葉曲線」というのは、次のようなシンプルな極方程式で表される。



実に面白い曲線を描きますよね。sinでなくcosの場合も正葉曲線になる。
いろいろとネットで調べていたら、こういう入試問題にあたった。


２０１８東京医科大


これ、どうやって解くのだろーか？
yについて解いて微分するなど不可能だし、媒介変数を使うのも複雑になる。

ところが極座標にするとシンプルになるのだから、それを狙った出題のようだ・・。
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こんにちは。


中学入試続き。
ネットに上がっている入試問題を物色しているけど、どれも難ですね。
図形の問題は、すでに中学レベルと思えるものが多々ある。

入試とは人を落とすための検査だから、簡単には解けない問を出す必要がある。
なので仕方ないのだけど、このあたりが中学入試の厳しいとこですね。

図形の難問を解いてみますか。



フェリス女学院中
CEの前に「直線」とあって変だけど、小学校では「線分」と書けない。
△EBCで三平方を使えば一発なのだけど、これは中３で習うのでNGです。
何とか三平方を使わずに解く手を考えるという、気持ちの悪い問題。



洛南高付属中
どちらも偏差値がやたら高いですね・・。

このまま高校入試に出してもちょうどいい感じの問題。
これも三角比とか円周角とか三平方とかNGで、使えるアイテムが少なすぎてキツい・・。

二等辺三角の底角、平行線の錯角、合同条件、相似比

小学校の教科書に、言葉は無いが性質として載っているので使用OK。
これらだけを使って解く、というしばりに大変苦労した・・。
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こんにちは。


中学入試の続き。
文章問題を解くときにxやyを使った方程式を作るのは、中学の数学からで、
小学校では未習となっている。なので中学入試を解くときは、文字や方程式を
使わない解法が必要になる。その方法として、

線分や面積の図をかく

こういう手はよくある方法で、ほかには

つるかめ算
過不足算

のような古典的な算術。しかしこれらは今の小学校では習わない。
なので特別な訓練が必要になります。


浦和明の星女子中
「つるかめ算」が使える典型で、

全部鶴だと仮定してみて、亀にチェンジする

こういうトリッキーな発想をします。


灘中
一応「過不足算」が使える問題。

全体の差÷１つの差＝個数

今度はこういう考え方。
しかしさすがに灘中で、問題が複雑化してますね・・。
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こんにちは。


寒い日が続きますね・・。

中学入試。
若い頃東京で、中学受験をする小６生を教えていた時期があった。
入試問題は、教科書には載ってない、特別な訓練が必要なものが多くて、
解法の知識と、あとは頭の柔らかさもある程度必要になる。

中学受験で学んだ算数の知識は、中学や高校で役に立つか？

どうなんでしょうね？
思考の幅は広がるとは思うけど、マイナスな面もあるかもしれない。

ネットにあがっている入試問題を解いてみますか。



（１）東大寺学園中
（２）ラ・サール中
（３）灘中

ただの計算問題でも、なかなか複雑なものが出ています。

（１）　式の形が作為的なので、何か法則があるのではと、疑ってかかる。
（２）　時間どうしを割り算して余りを出すのは、何だか変な問題。
（３）　左辺は「キセル算」というもので、通分しないでうまいことキャンセルさせる。

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こんにちは。


数１Ａ、２Ｂの両方、ゆうべ解き終わりました。
解き方の方針を文章で示しながら穴埋めをさせていくという、
いつものセンターっぽい形式だったのは変わらず。あとは、

答えを選択肢から選ばせるものが増えた
計算量を意図的に減らした感がある
文章量が相変わらず多くてうんざりした
毎年のこと、６０分では時間がきつい

こんなとこですかね。
マークシートであること、教科書の範囲内で出題すること。
こういうしばりがある中で随所に工夫が見られ、作者すごいなと思った。

数ⅠＡの第１問の〔１〕
多項式の値を求める問だけど、唐突に見慣れない等式が出てきて
面食らった人いたかと思う。




要は次の問題。



これを解かせるために変な誘導を付けているだけです。


続いて第２問の[１]
三角比の問題。これも後半に変な誘導があって解きにくい。  続きを読む

こんにちは。


先月おこなわれたプレテスト、前回の続きです。
２０２１年１月から始まるらしい大学入学共通テスト、そのお試し版がこのプレテストになる。
現物はこちら。


数学１Ａは５問あるが、選択して全４問を７０分で解く。
実際に時間を計って解いてみた結果、こうだった。

第１問〔１〕６分、〔２〕１０分　　　計１６分
第２問〔１〕１０分、〔２〕１６分　　計２６分
第３問　１４分
第４問　１６分
第５問　１５分

第３問～第５問のどの２つを選んでも、時間オーバーです。
悩んでしまう問はなかったが、文章量が多すぎる上に、正解をすべて選ぶという
厄介な選択肢もあり、解答にどうしても時間がかかる。

とにかくめんどくさいテストだ。解いていて全然面白くないし・・。

この共通テスト、必要なんでしょうかね？
各大学の個別試験があるんだし、要らないんじゃないか・・？

そんなこと考えていた・・。

第１問の〔１〕は２次関数の問題。



パソコンでグラフを描くという設定にしたのは工夫が見られるけど、奇をてらった感じがある。
正答率もそれほど高くないだろうと思ったが、この（１）は正答率51％。半数が間違えたようだ。

後半に続く。
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こんにちは。

先月おこなわれたプレテスト、前回の続きです。
２０２１年１月から始まるらしい大学入学共通テスト、そのお試し版がこのプレテストになる。
現物はこちら。

対話文を入れたり、題材を身近なものにしたりと、工夫が見られる。
文字量がかなり増え、読解力や新しい事に対応する力が問われる。
計算量は軽減され、考え方を問うものや結論を選択させる問が増えた。
問題自体は難しくないが、読解に手間がかかるので時間的にきつい。

こんな感触ですかね。
数学の試験なのに国語力が問われる、厄介なものですな。

公式や解法を暗記してそれを当てはめればオッケー

こういう考え方では大学受かりませんよ、と言いたいのかもしれない。
数学１Ａの第１問の中の[２]です。実にこの問だけで６ページにも及ぶ。



下線部ｂについて、このときの太郎君の心情を述べよ。

こんな問があればこれはもう国語ですな・・。
題材は興味深いものなのに、設問が実につまらない。よく読めば簡単だし。
後半に続きます。



はじめ見当違いなこと言っていた太郎君が、難解なはずのＸ＝１の証明が
計算できたと言う。どういうことなんだろ・・。それはいいとして、ダラダラと会話が
続いて話が完結し、受検者は面倒な計算をしなくて済むようにしてある。
最後の必要十分の問にしても、もうすでに対話文の中に答えが書いてあるし・・。

結局どんな数学の能力を見たい問題なのか？
意図がわからぬ・・。

（７）で、
ｐ⇒ｑが真であることを、花子さんの考えとは違う方法で証明せよ。
ただし、数学Ⅱで習う「加法定理」は使用不可とする。

こういう問題にすれば、思考力や数学の実力が大いにはかれると思う。


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こんにちは。


先月おこなわれたプレテストとは、２０２０年から始まるらしい、
センター試験に代わる新テストのお試し版のことです。

テストを受けてみた高校生のかた、感想どうでしたか？

数ⅠA、数ⅡB両方見てみたけど、文字量ハンパなく多いです。
数ⅠAなんぞ全３５ページもあって、１冊の本ではないか・・。

全部解いて行こうと思ったけど、読むのが面倒になってやめた。
次は数ⅠAの第２問の中の[１]の問題。



このページは設定事項の説明で終わっている・・。
たぶん、売り上げを最大にするには？
といった２次関数の最大値の問題かと思うが、まだわからない。

次のページにもぎっしり文章があった。



うんざりしますね・・。

この（３）が、正答率３％だったようで、たぶんほとんどの生徒が（２）と同じ金額を
書いてしまったのではないかと思う。事実、私もそう書いた。

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こんにちは。


韓国の試験、引き続き。
現物と和訳はこちら。

全３０問で１００分。
３０秒で解ける易問もあれば３０分かかりそうな難問もある。
こういう難問は数問ほどだけど、これが取れるかで合否が分かれそうだ。

次は、ラス前の空間ベクトルの問題。



最後の１０（a＋ｂ）というのは、答えを整数にするための形式的なもの。
日本でも自治医大の入試がこんな感じです。

図をかくとこんな感じになる。



日本の入試にも出そうな問だけど、平面の方程式は微妙に範囲外になってます。

PQの中点Mを求めて、XMの長さの最大値を幾何的に考える

というのが出題の狙いのようだけど、この方法で解くのはすこぶる面倒だ・・。
なので代数っぽく解く方法でやってみた。
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こんにちは。


韓国の試験、引き続き。
カ型（理系）をほぼ訳した。こちら。

カ型の出題範囲は、日本の理系大とほとんと変わらないようだけど、
数Ⅲの２次曲線、数Bの統計がよく出ていて、体積を積分で求める問が無い。

次は双曲線の問題。



F’Qを与えているのと、求める式が２乗の和というあたり、ずいぶん作為的ですね。

Pを媒介変数でおくとか、接線の式を設定するような解き方ではなさそうだ・・

と気付かなくてはいけない。


Pと２焦点の距離の和と差に注目していると、この問の作為的な部分が見えてきます。
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こんにちは。


韓国で毎年１１月に行われているセンター試験のようなもので、
修能＝スヌン
と言うようです。



数学は理系・文系２種類あり、１００分で全３０問。
現物はこちら。
翻訳ソフトを使って半分ほど訳したのだけど、合っているかどうか・・。


単問形式で、答えが５択になっているものと、答えのみ記入するものとがある。
日本のセンター試験のように、途中を穴埋めするものとは全く違って、とにかく
答えを出さないと得点にならない。

前半は教科書の問レベルばかりだけど、後半に意味不明の難問がある。
何問か解いてみますか。



三角関数の「加法定理」を使うように見えるけど、ＡＤやＤＣがわからないですね。
これをどう求めるのか？易しそうだが、案外つまずきやすい問かと思う。

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こんにちは。

大学を目指す高３生に数学を教えているのだけど、
なぜだか知らないが随分とのんびりしている。

センターまで４か月しかない。

「もっと、焦りなさい！！」

と今日は叱った。


次はネットに上がっていた予備校の模試の問題。


（駿台・東大入試実戦模試・文系から引用）


文系の最終問題のようだけど、えらく面倒そうですね。



（１）はこういう方針が浮かぶ。

STEP１　交点をα、βで置く。
STEP２　２つの面積をα、β、a、bで表す。
STEP３　比の条件からα、β、a、bの等式を導く。
STEP４　α、βを消してa、bの関係式を求める。

途中文字が４つも出てくるので、どれか消すことを考えるのだけど、
α、βを先に消去しようとすると、簡単には消えてくれない。
なのでa、bを消去してα、βだけの等式を作ることを考えようとするが
これも簡単でなく、気が滅入ってしまう・・。


随分と時間かけて解答作った・・。
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こんにちは。

２０２０年からセンター試験に代わる新しいテストが始まるようです。
知識重視から思考力・判断力・表現力重視の入試に転換するのが狙い
と書かれていた。数学はマークシートに加え記述式の問があるそうだ。

問題例を見てみたけど、何だかなぁ・・という感じだった。
不要な写真や太郎と花子の対話文を入れたり、文章が多くてめんどい。
まるで小中学生が受ける「全国学力調査」のようですな・・。

後日時間あればまた。


昔の共通１次試験を調べていたところ、面白い問がいくつかあった。


１９８５年・本試験・大問１
空欄にはアイウ・・の記号や分数が入ります。

当時は数Ⅰと数Ⅱがセットになって全５問。時間は１００分だった。
現在のように文章がダラダラ書かれていないし、時間にも余裕があった。

策１　Sを（X、Y）とおいて、XとYが満たす不等式をつくる
策２　ベクトルCSを媒介変数表示して終点の位置を調べる
策３　１点を固定して軌跡を求め、それを動かす。
策４　当て推量で、AC、AD、BC、BDの中点を書いてしまう。

この問題、記述式なら思考力を問う良問だと思うけど、マーク式ではダメですね。
策４がそのまま答えになってしまうので。

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こんにちは。


自治医科大の入試問題は独特で面白いので、毎年時間を計って解いている。
２５問の単問マーク式、試験時間８０分。
１問ごと独立しているのが数学の入試としては珍しい形で、マーク式と言っても
０～９までの１桁の数のどれかが答えになるように、設問を工夫してある。

問題はこちら。解答は未完成ですけど・・。
単問で解きやすいので、高３生はチャレンジしてみてほしい。

１問の解答時間が平均３分。易問あればやや難もあり、時間内に全問解くのは厳しい。
なので、いかに素早くかつ正確に解くか？ということと、捨て問の選択が重要になる。

２５問の中で際立ったものを紹介します。



ベクトルの問題で三角形の面積を求めるのに便利な公式。



この問題にこれを使うのは筋が悪くて、解けるけど相当時間がかかる。
ではどう解けばいいのか？その思考力を試すなかなかの良問かと思う。


次は、よくあるタイプの面積の最大・最小問題。



kとかpとかsとか無駄な文字が多いが、これは意図的なのかどうか。
面積をkで表す、sで表す、または、角度をθとしてsin、cosで表す。
いろいろ解き方ありますが、そのあと微分して０になるところが答えになる。
微分がめんどいので、他に方法が無いかと探ってみた。

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こんにちは。


公立高校入試は昨日合格者の発表があった。
長野県には私立高が少ないので併願とかすべり止めという感覚がなく、
ほとんどの生徒が公立高一本の受検となる。怖いけど仕方ないです。

２年前に第一志望に落ちてしまい、２次募集の高校に入学した生徒がいた。
この高校は進学校でないので不本意なのだけど、縁あって私の塾に来ている。
あと１年、徹底的に鍛えて進学をサポートしたい。と言うか受かるようにせねば。


公立高校入試で、定規とコンパスを使った「作図」の問題が出題される県は多い。
今年の入試問題から何問か集めてみました。



問題１　東京都
問題２　三重県
問題３　千葉県

「作図せよ」という問題の場合、定規１個とコンパスだけを使うこと。定規は、
長さを測ってはダメで、直角のかどを使うのもダメ。というルールがあります。

千葉県は毎年作図の難問が出ますね。
問題３が５分で解けた人は、私より強いです。
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こんにちは。


長野県公立高校入試。数学平均点（端数切捨て）

Ｈ２４　　３０点
Ｈ２５　　４５点
Ｈ２６　　５３点
Ｈ２７　　４９点
Ｈ２８　　４７点

今年も４０代後半くらいでしょうか。

最終問題の問４。ここは例年図形の問題と決まっていて、今年は
去年と同じ、[Ⅰ]立体、[Ⅱ]平面の２問だった。この傾向が今後続くかな。

[Ⅰ]は円錐の展開図と最短距離の問。
（１）で展開図を見せているのは良い配慮で、（２）を解く大きなヒントになっている。



証明の採点基準に、等しいことの理由が書いてないと減点、とあった。
なので上の赤字の証明は、満点ではないですね。結構厳しい。


以下、[Ⅱ]がダラダラ続きます。

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こんにちは。


長野県公立高校入試。
問３は例年「関数」を題材にしたものと決まっているのだけど、
毎年模様が違って、対策の立てようがない。

大きく２問あって、Ⅰは１次関数の問。
これはただ文章が長いだけで、難しくないし、面白くもない。



（２）は、調べる方法を問うたもので、去年も出題された。
作者はこういう国語の問が好きなようだ。
（３）に至っては、どういう実力を見たいのか意味不明。
１次関数の問題のはずなのに、１次関数を全く使っていない。
お粗末な問題だったと思う。


もう１つのⅡは放物線の問題で、一昨年にも出た。
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こんにちは。


長野県公立高校入試。
大問４問あるうちの２問目。中に３つの問があるのは例年通りです。

（１）資料の活用
（２）連立方程式
（３）その他（規則性）



（１）は、資料の活用という最近教科書に参入した単元で毎年出ている。
統計を学んでおくと、社会に出て必ず役に立つ。なので大いに出題すべし。
②の理由を書くのが案外難しい。県で用意された正答は、

中央値が１６ｍなので、記録が１６ｍ以上の人は１００人以上いて、
まゆさんの記録１５ｍは中央値の１６ｍよりも小さいから。

これで正解なのか・・？何だかしっくりこないですね。
１６ｍ以上の人が１００人以上いる、と言う理由の説明が弱い。


（２）は、連立方程式の文章題のようだけど、何を求めるのか目的を示さず、
なおかつ何を文字で置いたのかも伏せておいて、式だけ見せている。
これでは数学の問ではなくて、パズルではなかろーか。
なぜにこう、奇をてらうんでしょう・・？

（３）は、出題の意図が全くわからない。
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こんにちは。


県内一斉の公立高校入試。本日行われました。
数学は例年通り大問４問で

問１　計算問題、基本問題
問２　資料、方程式、規則性
問３　関数
問４　図形

ここ２～３年と比べて、やや難しかったかもしれない。
思考力を試す目的かわからないが、解きにくい問が多かったと思う。




問１は点取り問題。
（４）は確率の問だけど、変な選択肢があって新しいタイプだった。
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こんにちは。

東大理系第６問。
最終問題は毎年形がわからない体積の問が出ますね。



（１）は（２）を解くためのヒントです。
形がわからない立体の体積を求める方法として、

軸に垂直な平面で切る

というのが定番のやり方で、さらに回転体の場合は、
立体を作っておいてそれを切るのでなく、
先に切っておいてそれを回転させる、と考えるといいです。

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