2019年06月26日

数学甲子園2018

こんにちは。


こういう面白そうなイベントがあるようです。
去年の本選を見てみたところ、60分で18問解くようですね。
チーム戦のようだから手分けして解く感じでしょうか。

いくつか解いてみますか。





四角形の面積の最大値・最小値を求める問題で、
シンプルでいて、かなりの難問。
どこか角度か対角線とかを文字でおいて、式をつくって微分する。
それはそれは長い旅になりそうだ・・。

最大・最小は、特殊なときに起こりやすい

いつもこうだとは言えませんが、大体そうです。



答えを書くだけの問だから、この3つのうちのmaxとminを出して不等式を作る。
解けないときはそうするのがいいです。

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Posted by 三石 at 20:13Comments(0)幾何

2019年05月18日

三角形の合同。

こんにちは。


東京都に住所を異動し、正式に東京都民となりました。
生活スタイルが田舎とは大違いで、何かと不自由があったけど、
だいぶ慣れた感じです。


私の会社は、数学の会社。
試験問題の作成とかを請けて、私が考え、従業員が形にする。
でき上がった物を納品するとお金がもらえ、それを皆で分ける。

こういうシステムだ。
この先うまく経営して行けるのか・・不安すぎる。


今日も、とある試験問題を考えていた。
その中、過去の入試問題で面白いものを見つけました。




一見、合同になるように見えますね。
しかしきちんと証明しようとすると結構大変でしょう。

いえるか?いえないか?の問では、まず疑ってかかる

これ、原則かと思う。

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Posted by 三石 at 19:46Comments(2)幾何

2018年11月10日

チャート式幾何学(その2)

こんにちは。


幾何の続きです。
次の2つはセットで覚えておくといい公式。円はどちらも半円です。



直角三角形の相似を使えば簡単に出ます。


(原文ママ) 高知高=高知大

二等分とは、面積を二等分するということですね。でないと解けない。
答えになる直線を作図するのか、または場所だけ説明すればいいのか?
文面が不親切でわからないが、「作図題」の章に載っていたので作図でしょう。



作図が面倒にならないよう、垂線AHと中点Mをとってある。
この図に作図をする問題として、考えます。



このあたりですかね・・。
△ABCの情報が無いのに、Pの位置をどうやって決めるのか?
Pを決めるのも難しいが、そのあと定規とコンパスで作図するのも簡単でない。

これは相当な難問・・。
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Posted by 三石 at 19:32Comments(2)幾何

2018年11月04日

チャート式幾何学(その1)

こんにちは。


朝晩、寒くなりましたね。
随分前に買ったまま読んでなかった本を開いた。



代数学の方の記事はこちら

幾何学のほう、随分と厳しそうな問が相当な数入っていて、
ずいぶんと興味深い。第1問がこれだった。


(原文ママ)  広師=広島大



現代の中学2年の問に見える。この本には、
合同を証せよ。こうした易問は答案の書き方を厳重に正しく書け。
とあるだけで、解答が無かった・・。

この問題、△ABDと△ACDはすぐには合同にならないですね。
二等分線の定理AB:AC=BD:CDを使えばAB=ACは言えるのだけど、
そもそもこの定理を証明しなくてはならず、これは以外とめんどい・・。

どう証明すればいいんだろ・・。

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Posted by 三石 at 20:45Comments(0)幾何

2018年09月18日

2018東京都教員採用試験。

こんにちは。


9月も後半、やや涼しくなりましたね。

今年の東京都教員採用試験。こちら
この中の「中高共通数学」を解いてみた。
ほぼ中学・高校の範囲で、標準レベルで素直な問が多い印象でした。

何点取れば1次を通るんでしょうね・・。
毎年2番は図形の問題で、なかなか面白いです。




空間図形の把握の力や、相似、三平方など公式の活用力とか、
いろいろな思考力を問う良問かと思う。

[問2]でSを求めさせているので、[問3]ではそれを使って解け!
ということでしょうか?その方法だと結構な手間ですな・・。

切り取った体積は、直方体の2等分を使え

こういう策があるので、これを使うといいです。
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Posted by 三石 at 12:55Comments(0)幾何

2017年11月05日

江戸の算額。

こんにちは。

ある高校生にこう言われた。

数学なんか社会に出て使わない
だから勉強しても意味なくない?

どう返答しますか?

確かに、専門職以外の人はまず使うことが無いでしょう。
そういえば私も高校の頃「古文なんか意味ねぇ」と思っていた。


話変わって。
江戸時代では、神社に数学の問題が奉納されたのだそうで、
次はそのうちの1つ。形が美しいので解いてみたくなった。



文章は右から左に読んでください。訳すと

外円の中に、3個の等しい小円が弦に接して入っている。
外円の半径が1のとき、小円の半径を求めよ。

となるのだけど、条件不足で解けないですね。



答えがいくらでも出てきてしまう。
江戸時代のこの手の書物を読むと、こういう条件不備がよくある。

答 3分8厘1毛余

とあった。
たぶん左右の円の接し方が、弦の中点で接しているのだと思う。

そういう条件をつければ、中学の数学で解けますね。
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Posted by 三石 at 18:42Comments(0)幾何

2017年10月07日

2017東京都教員採用試験(その2)。

こんにちは。


最近めっきり肌寒くなりました。

教員採用試験は1次がペーパーで2次が面接。これに受かると、
来年度からの職が確定します。ですが、なかなか倍率高いですね。


面接でたぶん聞かれるでしょう次のこと。

Q1 教師を志望した理由を述べてください。

A 子供の頃から数学が好きだったので、数学が生かせる職をと考えて
 塾の先生では食って行けそうにない。なので教師を志望しました。

これでは不合格ですな・・。


Q2 教師に必要な資質、能力とは何でしょうか?

A 人を惹きつける魅力、ですかね。

この回答もまったく話にならない。だから私は先生になれない・・。

回答例
教育者としての使命感、人間の成長・発達についての深い理解、生徒に対する教育的愛情、
教科に関する専門的知識、広く豊かな教養、そしてこれらを基盤とした実践的指導力。
このような能力が必要と考えます。以上です。

こんな感じだそうですね。私には無理だ・・。
でも三石数学塾の面接でこう言った人がいたとしたら、悪いけど不採用ですね。
一緒に仕事したくないです・・。


今年の東京都の試験、後半にこういう面白い問が出てました。



変域を揃えてあって、直ぐに答えはわからないですね。
でもxが0になるときを調べてみるとy=1しかなく、答が1番だとわかる。
問題を見てすぐに式変形をゴリゴリ開始するのでなく、

一旦あたりを付けておく

こういう試行は、どんな仕事をする上でも大事なことかと思う。


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Posted by 三石 at 12:56Comments(2)幾何

2017年10月05日

2017東京都教員採用試験。

こんにちは。


もう10月ですか・・早いですね。

教員採用試験がどんな数学の問題なのか調べたところ、
こちら


この中の「中高共通数学」というのを全部解いてみた。
時間60分で分量はちょうどいい感じで、難易度はどうなんだろ、
ほとんど中学、高校の範囲で、思っていたよりも易しかった。

しかしところどころ思考力を問う部分があって、良問揃いだと思った。
大問2を見てみますか。




中学の数学で全部解けるし、どこか私立高の入試問題に見える。
中3受験生はチャレンジしてみるといいです。
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Posted by 三石 at 00:23Comments(7)幾何

2017年07月04日

三角形の面積。

こんにちは。


7月に入って、雨降りばかりですね。

数学の話。
3辺の長さがわかっている三角形の面積を求める場合、

策1 垂線を引いて三平方を使い、高さを求める [中3]
策2 cosA→sinAと順に求め、1/2bc sinAに代入 [高1]
策3 ヘロンの公式にぶち込む [高1]



策1では、この3つの形を覚えておくといいです。
とくに中央のやつは758(名古屋)で60度になり、よく三角比の問で出ます。



ヘロンの公式を使わないで策1を使って証明する方法。
複雑なのだけど形が美しいので、証明が完成すると感動を覚えるでしょう・・。
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Posted by 三石 at 18:49Comments(0)幾何

2017年05月30日

長方形と正方形

こんにちは。

塾に高1生が新規入会し、2ヶ月が経った。
様子を見る感じで授業を進めてきたのだけど、
数学が得意な子、苦手だと言う子、全くできない子、情緒不安定な子
ほんと様々だ。

今日4番目の子が1人残ったので、いろいろと話した。

真ん中に線を引くのをやめなさい。
数式は1行ずつ空けて書きなさい。

ノートの書き方をアドバイスした。
これで情緒が安定するかわからないが・・。


次は、どこかで見かけた幾何の問。シンプルだけど証明はムズい。



図では、ADの方がABよりもわずかに長い。CPQは直角二等辺ではないです。
普通の解き方だと、まず図のように長さを決め、



AP=AQ=PQからa~dの等式をつくり、これを使って面積の等式
  a(b+d)+b(a+c)=cd
を導けばいい。

やってみたがスゴい計算になってしまった。
も少しラクな方法ないものか・・。

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Posted by 三石 at 17:53Comments(0)幾何

2017年02月08日

正三角形を正方形にするには?

こんにちは。

正三角形を4つに切り分け、その4つを並べ替えて
正方形になるようにせよ。

カンタベリーパズル」H.E.デュードニー
という本に載っている相当な難問です。この本はただのパズルでなくて、
数学の知識がかなり必要で、解いているのだけど一向に進まない・・。



全114問。一生終える前に全部解きたいと思う。



本の解答には作図方法が示してあったが、正確な数値が書かれて無かったし、
そもそもこの分割で正方形になることの証明が、なされていない。

なので掘り下げて考えてみた。


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Posted by 三石 at 21:28Comments(0)幾何

2016年08月03日

夏休み課題その5

こんにちは。


大学入試の数学で、
「~のとき、・・・の最大値を求めよ」
という最大・最小の問は実に多いです。

どう解決するか方法は様々だけど、思いつくものを挙げてみた。

(1)1次・2次関数に帰着させる
(2)微分して極値を求める
(3)sin、cosの関数に帰着させる
(4)相加相乗やシュワルツを使う
(5)距離の最大・最小に帰着させる

(6)その他

これら、常に意識して問を解いていく必要がある。
夏休み課題の最終問題。これは古くてベタな最大最小問題。



見た目、直角二等辺が最大に見えるが、やはり見た目通りの答になります。
まず変数をどう設定するかなのだけど・・ざっと3種類あるかな。



【策1】
3変数で文字が多いので、あとでどれかを消すことになるが、zを消しては【策2】と同じ。
なのでxとyを同時に消すことを考える。この方法は参考書にないかもしれぬ。

【策2】
最も一般的な設定。三平方の定理でxとyの等式が1つできて、面積S=xy/2
そこで、いくつか解法がある。
(解1) yを消去してSをxの式で表し、微分する。
(解2) 相加相乗を使って、xyの取り得る範囲を求める。
(解3) xとyのグラフを描いて、線形計画法を使う。

【策3】
2辺がacosθ、asinθなので、3辺の和が1からaがsinθ、cosθで表され、それで
面積Sもsinθ、cosθで表される。あとはこの三角関数の最大を調べればいい。
うまそうな方法だけど、やってみると式が複雑で、簡単でない。


【策1】~【策3】まで全部解いてみようと思った人、相当なマニアです。

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Posted by 三石 at 19:19Comments(1)幾何

2016年07月31日

夏休み課題その3

こんにちは。


数学ができるようになる為にどう勉強すればよいか?

(1)すぐに答えを見ない。
(2)昨日の解答を眺める。

私はこの2点だと思っていて、生徒にいつも言っている。



(1)は自力で答えを出す努力をすることが思考力を伸ばす力になる。
(2)はノートに書いた解答をあとで見返すことで、忘れなくする効果と、
新たな発見があったりする利点がある。見直しは必ずするべし。

写真は三石ノートという物で全10巻あり。数学にもノート整理は効果大。


夏休み課題その3。



これはネットで検索すれば解法がたくさん出てくる有名な問い。
高校3年間のうちに一度は解いておかねばならない重要問題といえます。

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Posted by 三石 at 03:08Comments(11)幾何

2016年04月11日

花を抜くには。

こんにちは。


都内の桜はもう散るころでしょうけど、こちら三石家の桜は満開です。




いいですねえ桜は。。先祖に感謝です。


花を見ながら、のんびり数学の問を解く。
老後はきっとこうなるでしょうね・・。

今日は花のパズルでも解いてみますか。


「カンタベリーパズルno27」

デュードニーという人のパズル本に載っている問題。
氏の作るパズルは結構数学の問題になっているものが多くて、
この問もnCrとか積の法則を知らないと解けない。

それよりもまず、6個除いたときにどの列も偶数個になる、と言う形を
見つけるのに結構苦労した・・。
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Posted by 三石 at 19:14Comments(0)幾何

2015年01月13日

センター試験対策<三角比>

こんにちは。


長野県白馬のスキー場にて。




穴場なのか結構すいていた。苦労して来た甲斐があった感。



センター試験数学は次の日曜日ですか。
数学Ⅰの三角比は例年難しくなってきており、幾何の知識が
絡んできてややこしい問となる、と予想。

基本問題を1つ。




解法1:余弦定理を使う。
解法2:垂線を引いて直三を作る。

2通りありますか。
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Posted by 三石 at 01:38Comments(0)幾何

2014年12月08日

H26屋代高校付属中学校・適性検査(その1)

こんにちは。


今年で4回目、先週末行われました。
受験生390人、定員80名。およそ5倍です。

適性検査Ⅰ(国語、社会)50分
適性検査Ⅱ(算数、理科)50分

検査Ⅱのほう、解いていきますか。
問1から問4までどれも文章が長いのは例年通りで、読解するのが大変だった。
しかしここを受ける小6生には何ともないのでしょう・・。


問1の1問目。




問1は(1)~(3)まで3問あってそれぞれ独立していて、
どれも算数の問題に見える。
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Posted by 三石 at 16:15Comments(0)幾何

2014年11月23日

分割。

こんにちは。


昨日はけん玉長野県大会。




毎年一人で仕切っているが、歳なのか年々疲労がどっと来る・・。

終わって帰途の途中、高速長野道を走っている最中に地震が起こったらしい。
今年はこの長野県、災難続きだ・・。

もう、何も無いことを祈る。


次の問、道路が分裂したというニュースに合わせたわけではありません。



分けた2つの図形は、合同である必要はありません。
よくある対角線の交点を結ぶと言う方法・・




これだとうまく行かない。
そういう問にしたのだけど・・。
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Posted by 三石 at 23:27Comments(0)幾何

2014年11月09日

正方形上の4点

こんにちは。


飯田線の駅名が書かれたマラソンシートを作成した。




もしかめ大会は11/22(土)
詳しくはこちら

参加者募集中!ふるってご参加ください!!


次の問はある本に載っていたもので、今週ずっと考えていた。


(注)問題文には正方形の4辺それぞれにA~Dが1点ずつあるように、との記述あり。


カンで描くと、こうなります。微妙に正方形になってない・・。




作図するのだから、目盛のない定規1つとコンパスだけで描けるはず。
しかしどうにもこうにも手掛かりがないですね。ギブアップして答えを見た・・。
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Posted by 三石 at 02:30Comments(0)幾何

2014年06月06日

いかにして問題をとくか

こんにちは。


もう6月ですか・・。

購入したのに全く読んでない数学の本が書棚にたくさん並んでいて、
この本もその1つだった。



これは昭和29年初版というかなり古い本ですが、ネットで検索すると
結構売れているようです。なぜ売れてるのかいまいちわからない・・。

1 問題を理解すること
2 計画を立てること
3 計画を実行すること
4 ふり返ってみること


問題を解くうえでの手順や考え方をくどくど説いた本、という感じです。
読むのにすごい時間かかりますな、文章が固いし古いしわかりにくい・・。

練習問題が全20問。その中の1つを解いてみますか。




問の意味がわからんでしょう・・。こういうものばかりです。

「むかいあう稜(りょう)」というのは、ねじれの位置にある2辺のことです。
日本語訳の不備でしょうか。「同じ長さaのむかいあう稜」というのは
ただ1組だけですね。でないと正四面体になってしまうので。
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Posted by 三石 at 13:16Comments(0)幾何

2014年04月14日

三平方の定理の証明(その3)

こんにちは。

新学期が始まり数学塾もスタートしました。
高2生の授業にて。





ウォーミングUPで計算練習をし、そのあと本題に入る。

「いま、集合やってますよ」

生徒の通う高校は授業の進度が遅く、高1で数学Ⅰが終わらない。
高2で数学Ⅱがやっと半分終わる。数学Bなど教えてくれない。

これでどう受験対策をしていけばよろしいか・・。
前途多難すぎ。


数学の話。
中学で習う「三平方の定理」というもの。



その1 
その2 

これの証明方法はいろいろあるのですが、最近
相似を使ったエレガントな証明を発見しました!!
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Posted by 三石 at 21:51Comments(0)幾何