2024年03月16日
２０２４灘中学入試・算数（その６）
こんにちは。
灘中入試、引き続き。
第８問からは図形の問が続く。
算数では長さが等しいことを等式で書かないので、見づらい。
AE＝AFを見逃してしまい、解けない問をずっと考えておりました。
EF＝BCがいえるのだけど、なぜなのか？
とても小学校の算数では説明できないな。
試験中に証明している時間が惜しいし、三角形が何となく合同だから等しい、
という感じで解くのでしょうね。
続きを読む
灘中入試、引き続き。
第８問からは図形の問が続く。
算数では長さが等しいことを等式で書かないので、見づらい。
AE＝AFを見逃してしまい、解けない問をずっと考えておりました。
EF＝BCがいえるのだけど、なぜなのか？
とても小学校の算数では説明できないな。
試験中に証明している時間が惜しいし、三角形が何となく合同だから等しい、
という感じで解くのでしょうね。
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2024年03月11日
２０２４灘中学入試・算数（その５）
こんにちは。
灘中入試、引き続き。
第７問は、数え上げの問題。
電球が点灯するのは、スイッチがonになった道ができる場合で、
その道が複数できるときもあるし、これはなかなか厄介です。
策１ 点灯する場合を全部数え上げる
策２ 点灯しない場合を数え上げ、１２８から引く
このどちらがよいか？やってみないとわからないけど、
場合分けの方法として、下２つのonとoffで分けてみる。
Aが消えてBがつく場合は、真ん中の場合と同じなので略でいい。
策１は左の場合が大変そうなので、策２で行くことにした。
続きを読む
灘中入試、引き続き。
第７問は、数え上げの問題。
電球が点灯するのは、スイッチがonになった道ができる場合で、
その道が複数できるときもあるし、これはなかなか厄介です。
策１ 点灯する場合を全部数え上げる
策２ 点灯しない場合を数え上げ、１２８から引く
このどちらがよいか？やってみないとわからないけど、
場合分けの方法として、下２つのonとoffで分けてみる。
Aが消えてBがつく場合は、真ん中の場合と同じなので略でいい。
策１は左の場合が大変そうなので、策２で行くことにした。
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2024年03月07日
２０２４灘中学入試・算数（その４）
こんにちは。
灘中入試、引き続き。
第６問は、数の性質をうまく活用した面白い問題。
４桁の数ABCDが何個できるかというと、8C4だから70通り。
1つずつ順に調べて条件に合うかを見ればいいけど、
その場合、平均何回で見つかるか？
期待値を計算するとおよそ３５回となります。試験中にやる気になれないですね。
この問で着目することが、次のこと。
A＋B＋・・＋H＝1＋2＋・・＋8＝36
９の倍数になっているので、これを手掛かりにします。
次は、４桁の数が９の倍数になるための条件です。
この性質は是非知っておくべきことですね。
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灘中入試、引き続き。
第６問は、数の性質をうまく活用した面白い問題。
４桁の数ABCDが何個できるかというと、8C4だから70通り。
1つずつ順に調べて条件に合うかを見ればいいけど、
その場合、平均何回で見つかるか？
期待値を計算するとおよそ３５回となります。試験中にやる気になれないですね。
この問で着目することが、次のこと。
A＋B＋・・＋H＝1＋2＋・・＋8＝36
９の倍数になっているので、これを手掛かりにします。
次は、４桁の数が９の倍数になるための条件です。
この性質は是非知っておくべきことですね。
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2024年03月06日
２０２４灘中学入試・算数（その３）
こんにちは。
３月に入ったけど、東京はまだ寒い。
灘中入試、引き続き。
整数が１１の倍数になるのは、各位がどんなときか？
この性質を知らないと、しらみつぶしに調べることになるのでキツい。
作者はそのことを見越して出題したのだろーか？
小６生でもわかるように、性質と証明を書いた。
これを使ってよいことにして解答を作った。
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３月に入ったけど、東京はまだ寒い。
灘中入試、引き続き。
整数が１１の倍数になるのは、各位がどんなときか？
この性質を知らないと、しらみつぶしに調べることになるのでキツい。
作者はそのことを見越して出題したのだろーか？
小６生でもわかるように、性質と証明を書いた。
これを使ってよいことにして解答を作った。
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2024年03月05日
２０２４灘中学入試・算数（その２）
こんにちは。
灘中学の入試問題。
引き続き解いていきます。
これは小６生が解く問題なので、
なるべく算数だけで解こうと思う。
高校の数学Aの中に「集合の要素の個数」という単元があって、こういう図をかいて考えます。
n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
式で書くとこうなるけど、意味を説明すれば小６生でもわかると思う。
もう１問。
旅人算
の中に、出会い算とか追いつき算とかがある。
そのたぐいかなと思ったけど、条件が３つあるので何かヘンですね。
逆向きに走る２パターンだけを考えたら、解けてしまった・・。
何か勘違いしたのだろーか？
続きを読む
灘中学の入試問題。
引き続き解いていきます。
これは小６生が解く問題なので、
なるべく算数だけで解こうと思う。
高校の数学Aの中に「集合の要素の個数」という単元があって、こういう図をかいて考えます。
n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
式で書くとこうなるけど、意味を説明すれば小６生でもわかると思う。
もう１問。
旅人算
の中に、出会い算とか追いつき算とかがある。
そのたぐいかなと思ったけど、条件が３つあるので何かヘンですね。
逆向きに走る２パターンだけを考えたら、解けてしまった・・。
何か勘違いしたのだろーか？
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2024年03月04日
２０２４灘中学入試・算数（その１）
こんにちは。
受験の季節。
私の会社は数学の会社で、この時期は入試の仕事が入ってくる。
とにかく毎日数学の問を解きまくる仕事であって、こういうのは
好きでないとできないですね。
私は問題解くのが趣味なので、何も苦でないです。
中学入試の仕事は無いけど、毎年解いているので
今年も解きますか。
１日目は全１２問。
中学入試なので小６生が解く問題なのだけど、何だか高校入試に出ても
おかしくない問題が後半に多々ある。
最初はウォーミングアップかなと思いきや、結構面倒な計算。
特に工夫する手もなく、ただ計算すればいい。
２番は、中１の１次方程式の文章題にちょうどいい問題で、
求めるものをx円として、
5x－120＝7(x－100)＋60
これを解けばいい。
でも小６生がわかるような解き方で解いた。
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受験の季節。
私の会社は数学の会社で、この時期は入試の仕事が入ってくる。
とにかく毎日数学の問を解きまくる仕事であって、こういうのは
好きでないとできないですね。
私は問題解くのが趣味なので、何も苦でないです。
中学入試の仕事は無いけど、毎年解いているので
今年も解きますか。
１日目は全１２問。
中学入試なので小６生が解く問題なのだけど、何だか高校入試に出ても
おかしくない問題が後半に多々ある。
最初はウォーミングアップかなと思いきや、結構面倒な計算。
特に工夫する手もなく、ただ計算すればいい。
２番は、中１の１次方程式の文章題にちょうどいい問題で、
求めるものをx円として、
5x－120＝7(x－100)＋60
これを解けばいい。
でも小６生がわかるような解き方で解いた。
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2024年02月29日
２０２４東大・文系（第４問）
こんにちは。
引き続き、東大文系。
最終問題は確率でした。
確率をnの式で表す問題。こういうときは、まず小さいnで調べてみるのが
第一歩です。奇数なので５と７を描くと、こうなる。
n＝5のときはどの場合もOを内部に含むので、確率は１ですね。
n＝7のときは、Oを内部に含まない場合はあるけど、そう多くない。
pn＝1－（Oを内部に含まない確率）
余事象を考える方がラクそうです。とはいえ、数え方がややこしい。
漏れなく重複なく数えるのに図のＡを固定するのかしないのか？
あと、Oを内部に含まない場合をどうやって数えるのか？
数え方に工夫が要りますね・・。
続きを読む
引き続き、東大文系。
最終問題は確率でした。
確率をnの式で表す問題。こういうときは、まず小さいnで調べてみるのが
第一歩です。奇数なので５と７を描くと、こうなる。
n＝5のときはどの場合もOを内部に含むので、確率は１ですね。
n＝7のときは、Oを内部に含まない場合はあるけど、そう多くない。
pn＝1－（Oを内部に含まない確率）
余事象を考える方がラクそうです。とはいえ、数え方がややこしい。
漏れなく重複なく数えるのに図のＡを固定するのかしないのか？
あと、Oを内部に含まない場合をどうやって数えるのか？
数え方に工夫が要りますね・・。
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2024年02月28日
２０２４東大・文系（第３問）
こんにちは。
引き続き、東大文系。
第３問は座標平面上の図形の問題。
図を描くとこうなる。
赤い線は何となく引いてみた。直角三角形の斜辺の中点は外心だから、
AM＝PM＝OMとなる。この条件が使えるかもだし、意味ないかもしれないが・・。
(1)が解ければ、(2)(3)は方程式、不等式を解くだけなので易しい。
なので(1)が解けるかどうかがカギになりますね。
続きを読む
引き続き、東大文系。
第３問は座標平面上の図形の問題。
図を描くとこうなる。
赤い線は何となく引いてみた。直角三角形の斜辺の中点は外心だから、
AM＝PM＝OMとなる。この条件が使えるかもだし、意味ないかもしれないが・・。
(1)が解ければ、(2)(3)は方程式、不等式を解くだけなので易しい。
なので(1)が解けるかどうかがカギになりますね。
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2024年02月27日
２０２４東大・文系（第２問）
こんにちは。
引き続き、東大文系。
第２問は珍しい指数対数の問題。
(1)はどの参考書にもあるタイプの問で易しい。
(2)が困ってしまうな・・。見たことない形でしょう。
直接両辺の対数を取るのは、左辺が和だからうまく行かない。
こういう変形はどうか？これも[ ]の中の処理が困る。
仕方ないのでmに値を入れて調べよーか？こう考えた人いませんか？
m＝4のとき、左辺＝625＋256＝３桁
m＝5のとき、左辺＝3125＋1024＝４桁
m＝6のとき、左辺＝15625＋4096＝５桁
m＝7のとき、左辺＝78125＋16384＝５桁
m＝8のとき、左辺＝390625＋65536＝６桁
m＝9のとき、左辺＝1953125＋262144＝７桁
こんなことしていては、答えを出すまでに試験が終わってしまう。
しかし、これを見て気づいてしまった。
左辺の桁数は、4^mが足されたところで変わらない。
なので答えが見えた感じですね。
続きを読む
引き続き、東大文系。
第２問は珍しい指数対数の問題。
(1)はどの参考書にもあるタイプの問で易しい。
(2)が困ってしまうな・・。見たことない形でしょう。
直接両辺の対数を取るのは、左辺が和だからうまく行かない。
こういう変形はどうか？これも[ ]の中の処理が困る。
仕方ないのでmに値を入れて調べよーか？こう考えた人いませんか？
m＝4のとき、左辺＝625＋256＝３桁
m＝5のとき、左辺＝3125＋1024＝４桁
m＝6のとき、左辺＝15625＋4096＝５桁
m＝7のとき、左辺＝78125＋16384＝５桁
m＝8のとき、左辺＝390625＋65536＝６桁
m＝9のとき、左辺＝1953125＋262144＝７桁
こんなことしていては、答えを出すまでに試験が終わってしまう。
しかし、これを見て気づいてしまった。
左辺の桁数は、4^mが足されたところで変わらない。
なので答えが見えた感じですね。
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2024年02月26日
２０２４東大・文系（第１問）
こんにちは。
国立大の２次試験、昨日から始まったようです。
塾の先生ももうやってないので受験生の心配がない。
なのでのんびり解こうかと思います。
解答集の難易には[標準]と書かれそうな、よくある感じの問題だけど、
(3)で不等式があるのが珍しい感じです。
図を描くと、こうです。
PとQがy軸対称なので、Cもy軸対称。よってb＝0
となりそうだけど、これは証明した方が無難ですね。
(3)は、求めたAの式が複雑になるので、どうやって示すか？
その選択が大事なところです。
続きを読む
国立大の２次試験、昨日から始まったようです。
塾の先生ももうやってないので受験生の心配がない。
なのでのんびり解こうかと思います。
解答集の難易には[標準]と書かれそうな、よくある感じの問題だけど、
(3)で不等式があるのが珍しい感じです。
図を描くと、こうです。
PとQがy軸対称なので、Cもy軸対称。よってb＝0
となりそうだけど、これは証明した方が無難ですね。
(3)は、求めたAの式が複雑になるので、どうやって示すか？
その選択が大事なところです。
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2024年02月25日
２０２４共通テスト数１A（第５問）
こんにちは。
大学入学共通テスト。
最終問題は図形の問い。これも何だかめんどい。
[ア]のところ、こういう分数式はメネラウスだろうと予測がつく。
次のエ、オも同じだろうな、という感じですぐに答えが出る。
まだ続きます。
引き続き、星形の図を使って、今度は円を絡ませる。
円と線分の積が出てきたら、これはもう方べきですね。
続きを読む
大学入学共通テスト。
最終問題は図形の問い。これも何だかめんどい。
[ア]のところ、こういう分数式はメネラウスだろうと予測がつく。
次のエ、オも同じだろうな、という感じですぐに答えが出る。
まだ続きます。
引き続き、星形の図を使って、今度は円を絡ませる。
円と線分の積が出てきたら、これはもう方べきですね。
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2024年02月18日
２０２４共通テスト数１A（第４問）
こんにちは。
大学入学共通テスト。
引き続き解いていくのだけど、どれもこれもめんどい。
第４問は整数問題。この分野はいずれ、共通テストでは
出題されなくなるようです。
N進法の問題。その中に不定方程式の整数解の問を混ぜていて、
なかなか工夫された感。
続きを読む
大学入学共通テスト。
引き続き解いていくのだけど、どれもこれもめんどい。
第４問は整数問題。この分野はいずれ、共通テストでは
出題されなくなるようです。
N進法の問題。その中に不定方程式の整数解の問を混ぜていて、
なかなか工夫された感。
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2024年02月12日
２０２４共通テスト数１A（第３問）
こんにちは。
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第３問以降は数学Aの選択問題。
確率、整数、図形。この中から２問を選ぶのだけど、
確率は大体選ぶでしょうね。
第３問。これも長いです。
カードの復元抽出がテーマで、取り出し方や確率を求める問題。
「そろう」とか「初めてそろう」というものの定義をして、
前の問の結果が次の問に生かせるよう工夫してあるのだけど、
読むのがめんどい。
まだ続きます。
だんだんカードを増やしていって、結局やりたいことが
６回目でA～Dが初めてそろう確率
のようです。これが求めやすいように誘導がある感じです。
続きを読む
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第３問以降は数学Aの選択問題。
確率、整数、図形。この中から２問を選ぶのだけど、
確率は大体選ぶでしょうね。
第３問。これも長いです。
カードの復元抽出がテーマで、取り出し方や確率を求める問題。
「そろう」とか「初めてそろう」というものの定義をして、
前の問の結果が次の問に生かせるよう工夫してあるのだけど、
読むのがめんどい。
まだ続きます。
だんだんカードを増やしていって、結局やりたいことが
６回目でA～Dが初めてそろう確率
のようです。これが求めやすいように誘導がある感じです。
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2024年02月11日
２０２４共通テスト数１A（第２問）その２
こんにちは。
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第２問の〔２〕は「データの分析」の問。
全部で７ページもあるな、はぁ・・。
毎年文章が長くて大体つまらないので、解きたくない。
解答作るの面倒なので、答えを書き込んでます。
ここまで、階級値、中央値、箱ひげ図、これらは中学で全部習う。
なので意味がわかっていれば中学生でも解ける問です。
そういう問をこの試験で出す意味があるのか、と思う。
新しいzを導入して、何となく分析の問題になってはいるけど、
文章を読んでいけば自然に解けてしまう。
続きが、まだあるな、はぁ。
続きを読む
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第２問の〔２〕は「データの分析」の問。
全部で７ページもあるな、はぁ・・。
毎年文章が長くて大体つまらないので、解きたくない。
解答作るの面倒なので、答えを書き込んでます。
ここまで、階級値、中央値、箱ひげ図、これらは中学で全部習う。
なので意味がわかっていれば中学生でも解ける問です。
そういう問をこの試験で出す意味があるのか、と思う。
新しいzを導入して、何となく分析の問題になってはいるけど、
文章を読んでいけば自然に解けてしまう。
続きが、まだあるな、はぁ。
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2024年02月10日
２０２４共通テスト数１A（第２問）その１
こんにちは。
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第２問は〔１〕〔２〕の２問で、今日はその〔１〕です。
２次関数の問題。
２次関数の問題というと以前は、係数に文字を含む式が与えられて
そこから頂点を求め、最大最小とか実数解とか、まあよくありがちな
問が出ていたのだけど、そういう問は最近は出なくなった。
今後も何だか出ないような気がする。
この問題、座標平面上の動点と図形の面積についての問題で、
高校入試にありそうな感じだけど、一応２次関数の応用問題になっている。
なぜこれまでにないこういう問にしたのかわからないが、目新しさを考えたのだろーか？
続きを読む
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第２問は〔１〕〔２〕の２問で、今日はその〔１〕です。
２次関数の問題。
２次関数の問題というと以前は、係数に文字を含む式が与えられて
そこから頂点を求め、最大最小とか実数解とか、まあよくありがちな
問が出ていたのだけど、そういう問は最近は出なくなった。
今後も何だか出ないような気がする。
この問題、座標平面上の動点と図形の面積についての問題で、
高校入試にありそうな感じだけど、一応２次関数の応用問題になっている。
なぜこれまでにないこういう問にしたのかわからないが、目新しさを考えたのだろーか？
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2024年02月07日
２０２４共通テスト数１A（第１問）その２
こんにちは。
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第１問の〔２〕で、こんな感じの長い文章題だった。
まだ問題が始まらない。
読むのが嫌になってきた・・。
共通テストの特徴として、
身近なものを題材とし、それに数学を応用する
という問題を出したがるようで、この問がそれにあたる感じです。
文章が長い割に、答えることが少ない。要は、
問１ θ＝4°のとき、図のABを求めよ。
問２ 図のCDを、AB、θ、42°を使って表せ。
こういう平面図形の問題になります。
これがわかれば難しくなく、却って拍子抜けする。
続きを読む
大学入学共通テスト。
引き続き解いていきます。
第１問の〔２〕で、こんな感じの長い文章題だった。
まだ問題が始まらない。
読むのが嫌になってきた・・。
共通テストの特徴として、
身近なものを題材とし、それに数学を応用する
という問題を出したがるようで、この問がそれにあたる感じです。
文章が長い割に、答えることが少ない。要は、
問１ θ＝4°のとき、図のABを求めよ。
問２ 図のCDを、AB、θ、42°を使って表せ。
こういう平面図形の問題になります。
これがわかれば難しくなく、却って拍子抜けする。
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2024年02月03日
２０２４共通テスト数１A（第１問）その１
こんにちは。
大学入学共通テスト。先日行われました。
センター試験が共通テストに変わってから３回目ですか。
ざっと見た感じ想定通りで、文章が長くて読むのがめんどい。
仕事で解かないとだし、一応解きますか。
第１問が２問あって、これが１つ目です。
毎回、太郎と花子の会話がどこかで出てくるのが
共通テストの特徴の１つのようだ。
続きを読む
大学入学共通テスト。先日行われました。
センター試験が共通テストに変わってから３回目ですか。
ざっと見た感じ想定通りで、文章が長くて読むのがめんどい。
仕事で解かないとだし、一応解きますか。
第１問が２問あって、これが１つ目です。
毎回、太郎と花子の会話がどこかで出てくるのが
共通テストの特徴の１つのようだ。
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2024年01月25日
２０２４日本数学オリンピック予選（問題９）
こんにちは。
引き続きJMOです。
図形の問題。これは激ムズだった。
線分DFは四角形の内部の線なので、なかなか求めにくい。
三角DFCとDAEが相似なのはすぐ見えるけど、どちらの辺も
長さが１つもわからないのだから困る。
線を足してみますか。
これで何とか行けるか？と思ったけど、手掛かりがつかめない。
それどころか、余計難しくなっている。
では、これならどうか？
黄色の三角形が三角DGCと相似なことと、二等分線の比が使えるので、
図のｘが求められそうだ。
どうやらこれが突破口ですね。
続きを読む
引き続きJMOです。
図形の問題。これは激ムズだった。
線分DFは四角形の内部の線なので、なかなか求めにくい。
三角DFCとDAEが相似なのはすぐ見えるけど、どちらの辺も
長さが１つもわからないのだから困る。
線を足してみますか。
これで何とか行けるか？と思ったけど、手掛かりがつかめない。
それどころか、余計難しくなっている。
では、これならどうか？
黄色の三角形が三角DGCと相似なことと、二等分線の比が使えるので、
図のｘが求められそうだ。
どうやらこれが突破口ですね。
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2024年01月23日
２０２４日本数学オリンピック予選（問題８）
こんにちは。
引き続きJMOです。
1から2024までの関数の値か・・これは大変だなと言う感。
こういう問はとりあえず０とか１を代入して小さい値を求めます。
この結果、f(0)とf(1)が決まりそうだ。
あとは、mとnの一方を残した等式を作って、
そこから規則が見つかればラッキー。と言う感じでやります。
続きを読む
引き続きJMOです。
1から2024までの関数の値か・・これは大変だなと言う感。
こういう問はとりあえず０とか１を代入して小さい値を求めます。
この結果、f(0)とf(1)が決まりそうだ。
あとは、mとnの一方を残した等式を作って、
そこから規則が見つかればラッキー。と言う感じでやります。
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2024年01月21日
２０２４日本数学オリンピック予選（問題７）
こんにちは。
引き続きJMOです。
どうやって解くか？
・元の式を平方完成しようと試みる
・元の式を ＝M^2 とおいて、式変形する
・aに１、２、３を入れて解の規則を調べる
こういうのではうまく行かないですね。そんなに甘くない。
元の式にpの項が無いこと、定数項が１であること、
これがすごいヒントであって、
このように決めつけていいかどうかは後で考えるとして、
ひとまずこれが突破口になる。
続きを読む
引き続きJMOです。
どうやって解くか？
・元の式を平方完成しようと試みる
・元の式を ＝M^2 とおいて、式変形する
・aに１、２、３を入れて解の規則を調べる
こういうのではうまく行かないですね。そんなに甘くない。
元の式にpの項が無いこと、定数項が１であること、
これがすごいヒントであって、
このように決めつけていいかどうかは後で考えるとして、
ひとまずこれが突破口になる。
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